Погрешности косвенных измерений

Часто приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем шара можно вычислить, измерив его радиус R . Также измерения называются косвенными.

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, что величины Х₀, У₀ и U₀ связаны равенством

. (44)

Непосредственно измеряются величины Х₀ и У₀, и по этим измерениям мы судим об U₀, считая

(45)

измерением величины U₀.

Предполагается, что измерения Х_i и y_i независимы друг

от друга, и распределены нормально с дисперсиями и Задача заключается в том, как по известным значениям и определить и .

Очевидно, что погрешность косвенного измерения обусловлена погрешностями отдельных измерений и . Поэтому выражение (45) можно переписать в виде:

(46)

Вычитая почленно левые и правые части уравнений (46) и (44). для погрешности косвенного измерения получим:

(47)

Тогда для дисперсии результатов косвенного измерения можно записать выражение:

Здесь член , так как любое произведение может быть с равной вероятностью или положительным, или отрицательным.

Учитывая, что и

получим

(48)

или (49)

Равенство (49) определяет соотношение средних квадратичных ошибок прямых и косвенных измерений. Это выражение для частного случая имеет весьма общий характер и называется законом сложения дисперсий.

Следовательно, при измерении нескольких неизвестных величин складываются дисперсии этих величин (не ошибки, а именно дисперсии).

Средние квадратичные ошибки средних арифметических связаны аналогичным образом

(50)

Рассмотрим общий случай, когда u - функция двух переменных х и y:

(51)

Ошибки в величинах х и у такова: , где Х₀ и У₀ - истинные значения величин Х в У. Тогда для результата отдельного измерения можно записать

(52)

Если ‘та функция непрерывна и имеет производные, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Рассматривая только члены c нулевыми и первыми степенями малых погрешностей и , получим:

или поскольку

(53)

Частные производные здесь вычисляются при Х=Х₀ и У=У₀. Запишем выражение для дисперсии результатов косвенного измерения:

Учитывая, что

и

получим

(54)

или

(55)

Для относительной погрешности косвенного измерения

учитывая, что и получим:

(56)