Оценка элементарной площади Si правым прямоугольником.

Для данного случая и тогда значение интеграла:

Эти формулы имеют большую погрешность, пропорциональную величине шага

Для повышения точности площадь S_i можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка

Для повышения точности площадь S_i можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка

Оценка элементарной площади Si центральным прямоугольником.

Для данного случая и формула центральных прямоугольников имеет вид:

Погрешность в оценке площади S_i в данном случае существенно меньше, чем в двух предыдущих (погрешность оценивается разницей площадей δ₁ и δ₂).

Погрешность метода пропорциональная квадрату величины шага

Суммарная площадь

прямоугольников заметно

меньше площади

криволинейной трапеции.

Геометрическая иллюстрация вычисления значения определённого интеграла по формуле левых прямоугольников.

Схема алгоритма метода прямоугольников.

29.) Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

Алгоритм получения определенного интеграла:

1)Сначала вычисляют значения функции f(x_i) = y_i в некоторых узлах x_i Î[a, b].

2)Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (x_i, y_i), который используется при вычислении приближенного значения интеграла :

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

,где  - узлы интерполирования, A_i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы.(квадратурная формула)

Метод трапеций.

В данном методе элементарная криволинейная трапеция заменяется трапецией (кривая f(x) заменяется хордой CD).

Оценка элементарной площади S_i трапецией.

Отсюда:

Погрешность формулы трапеций пропорциональная квадрату шаг h т.е. формулы центральных прямоугольников и трапеций имеют близкую точность.

Схема алгоритма метода трапеций.

30.) Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

Алгоритм получения определенного интеграла:

1)Сначала вычисляют значения функции f(x_i) = y_i в некоторых узлах x_i Î[a, b].

2)Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (x_i, y_i), который используется при вычислении приближенного значения интеграла :

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

,где  - узлы интерполирования, A_i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы.(квадратурная формула)

Метод парабол(формула Симпсона).

На каждом элементарном отрезке подынтегральная функция f(x) заменяется квадратичной параболой, построенной по трем точкам: концам элементарного отрезка (), () и его середине ().

Площадь полученной криволинейной трапеции служит оценкой элементарной площади S_i:

Значение интеграла:

Добавим в скобки , вынесем общий множитель за скобки:

Формула Симпсона имеет высокую точность, так как погрешность метода

_м = О(h³)

Схема алгоритма метода Симпсона.

Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом парабол.

1