Численные методы решения задачи Коши для оду:

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

 на отрезке при условии 

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x₀, x_n].

Целью является построение таблицы

xi	x0	x1	…	xn
yi	y0	y1	…	yn

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

Воспользовавшись простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

получаем  явную формулу Эйлера:

, .

Порядок расчетов:

Зная , находим , затем т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Пользуясь тем, что в точке x₀ известно решение y(x₀) = y₀ и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке : . При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x₁) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x₂), получим приближенное значение y(x) в точке x₂: и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

, .

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление состоит из двух этапов:

Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p–го порядка заключается в получении приближений к значениям y(x_i+1) по формуле вида

,

где

…………………………………………….

.

Здесь a_n, b_nj, p_n, – некоторые фиксированные числа (параметры).

При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (a_n, b_nj, p_n) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

24.)

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).

Разобьем [a, b] на n равных частей – элементарных отрезков, x₀, x₁,…,x_n будем называть узлами сетки, h = (b-a)/n - шаг сетки.

, ;,.

Заменим в уравнении y^’ в точке x_i её приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):

Тогда получаем:

Отсюда формула Эйлера:

, – номер узла

Зная y₀ в точке x₀ (начальное условие) можно найти y₁, затем, используя уже известные значения x₁ и y₁, вычислить x₂ и y₂ и так далее.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера. В координатах (x,y) отобразим известные данные: отрезок [a,b] на оси Х и начальное условие y₀ – точка А с координатами (a, y₀). Отрезок [a,b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x₀, x₁, x₂, … , x_n = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение y^’ = f(x,y)

Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления приближенного значения искомой функции в новом узле х₁ (кривую y(x) заменяем на отрезком АВ на элементарном отрезке [x₀, x₁]).

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера.

Зная (x₁,y₁), можно аналогично получить новую точку (x₂,y₂) и т.д.

Алгоритм расчета новой точки методом Эйлера:

Алгоритм решения ОДУ 1-го порядка методом Эйлера.

25.)

Из геометрической иллюстрации следует, что:

1. На каждом шаге есть погрешность (на рисунке это отрезок BD). Погрешность тем больше, чем больше шаг.

2. Ошибка может накапливаться.

Формула Эйлера имеетпогрешность метода

Для практического выбора h с целью обеспечения заданной точности решения задачи  применяется следующий прием.

Выполняются 2 расчета: с n и 2n узлами. Если полученные значения функции в во всех узлах отличаются не более чем на , задача считается решенной. Если нет, число узлов вновь удваивают и опять сравнивают полученные значения функций.

Таким образом, расчет продолжается до достижения условия

Порядок оценки погрешности метода Эйлера на одном шаге:

1)Записать разложение точного решения задачи Коши в точке  по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

 

,  .

2)Погрешность метода на одном шаге имеет порядок  так как

3)После  шагов погрешность вычисления значения   в конечной точке отрезка возрастёт не более чем в  раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

 

или представить в виде

 

,