Классы симметрии тетраэдра и октаэдра

Ось	Многогранник	Класс симметрии
3, 3, 2	Тетраэдр	23
4, 3, 2	Октаэдр	432

У тетраэдра с осями координат совпадают три оси 2, у октаэдра, также как и у куба, – три оси 4. Цифра 3 на второй позиции в символе 23 или 432 означает наличие четырёх осей 3, проходящих через вершины куба или центры граней октаэдра, или через вершину и центр противоположной грани тетраэдра. Цифра 2 на третьей позиции означает 6 диагональных осей 2 октаэдра или куба.

Остальные классы кубической сингонии можно вывести так же как и для более низших сингоний путём добавления поочередно центра симметрии или плоскостей симметрии (табл. 16). Плоскости можно добавлять лишь двумя способами: три координатных плоскости или шесть диагональных. Другое расположение плоскостей приведёт к появлению новых осей симметрии. Оси 2 добавлять тоже нельзя, потому что исчерпаны все возможные сочетания осей.

Классы симметрии высшей категории, возникающие при добавлении центра и/или плоскости симметрии

Элементы симметрии				Класс симметрии
порождающий		порождённый	символ		формула
23	1	Три координатных плоскости	m3		4L33L23PC
	Плоскость m вдоль оси 2	1	m3		- " -
	Плоскость m вдоль оси 3	Шесть диагональных плоскостей; вместо осей 2 оси 4	43m		3L44L36P
432	1	Три координатных плоскости; шесть диагональных плоскостей	m3m		3L44L36L29PC
	Плоскость m вдоль оси 4	1; шесть диагональных плоскостей	m3m		- " -
	Плоскость m вдоль оси 3	Три координатных плоскости;1	m3m		- " -

Окончательно для кубической сингонии получаем 5 классов симметрии, которые представлены в табл. 17.

Классы симметрии кубической сингонии

Есть плоскости m					Нет плоскостей m
Есть ось 4	Нет оси 4			Есть ось 4			Нет оси 4
	Есть центр симметрии	Нет центра симметрии
m3m	m3	43m	432			23

Таким образом, получили все 32 класса точечной симметрии. Представим в табл.18 полный перечень всех классов.

32 Класса симметрии

Сингония	Символ класса	Формула	Название
Триклинная	1	L1	Примитивный
	1	C	Центральный
Моноклинная	2	L2	Примитивный
	m	P	Планальный
	2/m	L2PC	Центральный
Ромбическая	222	3L2	Аксиальный
	mm2	L22P	Планальный
	mmm	3L23PC	Планаксиальный
Тригональная	3	L3	Примитивный
	3	L3C = L3	Центральный
	32	L33L2	Аксиальный
	3m	L33P	Планальный
	3m	L33L23PC	Планаксиальный
Гексагональная	6	L6	Примитивный
	6	L3P	Инверсионно-примитивный
	6/m	L6PC	Центральный
	622	L66L2	Аксиальный
	6mm	L66P	Планальный
	6m2	L33L24P	Инверсионно-планальный
	6/mmm	L66L27PC	Планаксиальный
Тетрагональная	4	L4	Примитивный
	4	L4	Инверсионно-примитивный
	4/m	L4PC	Центральный
	422	L44L2	Аксиальный
	4mm	L44P	Планальный
	4m2	L42L22P	Инверсионно-планальный
	4/mmm	L44L25PC	Планаксиальный
Кубическая	23	4L33L2	Примитивный
	m3	4L33L23PC	Центральный
	432	3L44L36L2	Аксиальный
	43m	3L44L36P	Планальный
	m3m	3L44L36L29PC	Планаксиальный

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой – винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения. Всего известно 230 пространственных групп симметрии. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например, винтовая ось в огранке кристалла проявляется как соответствующая простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 пространственных групп симметрии макроскопически схожа (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп.