Algebra and geometry

а)

A(8;7) ,

B(18;7) , C(16;8 3 + 7) ;

б) A(9;3) ,

B(12;3) , C(12;6) ;

в)

A(6;4) ,

B(12;4) , C(9 3 + 6;13) ;

г) A(4;8) ,

B(8;8) ,

C(4;15) .

48.

Найдите точку пересечения прямых l :

6(x −13)

+3( y +17) = 0 и

m :

x −13

=

y +17

.

6

3

52.

Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и

B(7;6) .

53.

Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку A(9;8) и па-

раллельной прямой x −9 y +8 = 0 .

54.

Найдите расстояние от точки A до прямой l

а) A(−2;−1) , l : 4x +3y +1 = 0 ;

б)

A(−3;4) , l : 3x − 4 y +35 = 0 .

55.

Найдите эксцентриситет эллипса

x2

+

y2

=1.

25

9

56. Найдите эксцентриситет гиперболы

x2

−

y2

=1.

64

36

59.

Две

прямые

заданы

уравнениями

x − 2

=

y − 2

=

z −2

и

1

1

2

x − 2

=

y − 2

=

z −2

. Найдите косинус угла между ними.

−1

1

−2

60.

Найдите

косинус

угла

между

плоскостями x + 2 y + 2z +3 = 0

и

2x + y + 2z +10 = 0 .

61.

Найдите

расстояние

от

точки

A(1;3;−2)

до

плоскости

α : 2z − 2 y − x +32 = 0 .

62.

Найдите

расстояние

между параллельными

плоскостями

α : x + 2 y − 2z +8 = 0 и β : x + 2 y −2z +17 = 0 .

63.

Найдите общее уравнение плоскости, проходящей

через точку

A(5;−2;5)

и перпендикулярной прямой l :

x + 4

=

y

=

z +1

.

−15

−4

25

а) A(4;5;5) , B(5;5;5) , C(4;7;5) ; б) A(1;1;4) ,

B(1;3;4) ,

C(1;1;7) ;

в) A(1;4;3) , B(4;4;3) , C(1;4;5) .

67. Найдите точку пересечения прямой l :

x − 2

=

y −1

=

z −1

и плоско-

4

5

3

сти α : 4x +5y +3z −16 = 0 .

68. Найдите длину отрезка [ AB], если A = (1;2;2;3;2) ,

B = (1;0;4;−1;3) .

69. Пусть M – выпуклая оболочка точек

X1 = (0;−2) , X2 = (2;−2) ,

70. Пусть M –

выпуклая оболочка точек

X1 = (−2;6) ,

X2 = (0;6) ,

X3 = (−2;8) ,

X4 = (0;8) .

Найдите ограничения в виде системы нера-

венств, которые задают множество

M .

Примеры задач (Б)

1.

Разложите векторы a1 = (1;13;8)

и a2 = (−12;−6;8) по базису, состоя-

щему из векторов cG =

(4;4;−3) , c

= (3;−2;−5) ,

c = (−2;1;1) .

1

2

3

2.

При

каких значениях

параметра a

векторы

m = (a;2a +3;−a −4) ,

nG = (0;−6;8 − 2a) ,

pG = (−2;−4;4) линейно зависимы? Выразить вектор m

в виде линейной комбинации векторов n и p .

3.

Даны векторы aG = (4;1;−1) ,

b = (3;−1;0) ,

c = (−1;1;1) , d = (−1;3;4) . При

каких

значениях

параметров

α ,

β ,

γ

верно

равенство

αaG + βb +γcG + d = 0 ?

4.

Найти

все

значения

параметра

λ, при которых вектор

b = (7;−2;λ − 2) линейно

выражается

через

векторы

a1 = (2;3;5) ,

a2 = (3;7;8) ,

a3 = (1;−6;1) .

nG = (a − 4;1;2) и

5.

При

каких

значениях

параметра

a

векторы

G

= (a + 2;4;2) ортогональны?

m

6.

При каких значениях параметра α векторы a = (α;1;−1) , b = (1;−3;−5) ,

cG = (−1;1;1) образуют базис пространства R3 ?

7.

При

каких

значениях

параметра

λ

векторы

aG

= (λ;−5;−1) ,

1

a2 = (λ;λ;−6) , a3 = (−16;−5;−7) образуют

ортогональный

базис про-

странства R3 ?

aG = (1;−2;3 + m) ,

8.

При

каких

значениях

параметра

m векторы

b = (2;1;−1) , cG = (4;7;5 − m) компланарны?

9.

Найдите значения параметра m , при которых строки заданной мат-

рицы A линейно зависимы:

1

−3

−3

− 2

1 −1

0 −1

−3 10

11

0

−1

2

−1

4

;

а) A =

−1

2

2

−1

б) A =

−1

3

−3

8

.

11

−35

−38

m

− 2

−1

m 2

1 −3 3

2

x

6

−1 4

1 −1

1

−9

x2

а)

−1 5

5

0

x

=

−12

;

3

−3 10 −5 −5

x4

−21

x

3

1 −1 −4 3

1

3 − 2 −11 2

x2

=

16

;

б)

x

−3 5

15 − 2

3

−17

x

4

1 −1 0

2

x

0

1 0 2

1

1

−5

x2

в)

−1 4

7 −3

x

=

−18

.

2 10 27 − 2

3

−69

x

4

1

−1

−1 0 x

−6

2

−7

−15

m

1

−65

x2

шение системы:

3

−6

−11

−3 x

=

−52

.

3

−1 2

4

2

21

x4

ax

− 2x

− 2x −

2x

= 0

1

2

3

4

− 2x1 + ax2 − 2x3 − 2x4 = 0

имеет ненулевые решения?

− 2x

−

2x

+ ax

− 2x

= 0

1

2

3

4

− 2x

−

2x

−

2x

+ ax

4

= 0

1

2

3

13.

При

каких

значениях

параметра a

система

уравнений

(a − 2)x1 +3x2 +3x3 = 3

3x +(a − 2)x

+3x

= −2a имеет единственное решение?

1

2

3

2

3x1 +3x2 +(a − 2)x3 = 4a

14.

При

каких

значениях

параметра

λ

матрица

1

1

2

3

1

5 −λ2

2

3

является невырожденной?

A =

2

3

4

5

2

2

3

1

9 −λ

15.

При

каких

значениях

параметра

λ

ранг

матрицы

1

1

2

3

1

5 −λ2

2

3

равен 4?

A =

2

3

1

5

2

2

3

1

14 −

λ

16.

При

каких

значениях

параметра

λ

ранг

матрицы

2

2

4

6

2

3 −λ2

4

6

равен 3?

A =

4

6

2

10

4

6

2

19 −

2

λ

17.

Используя

равенство (U −1AU )n =U −1AnU ,

найдите

матрицу

5 2 −1 x

0

5 2

n

.

0

2 1

2 1

y

1

3

4

2

2

18. Вычислите степень ортогональной матрицы

.

−

3

1

2

2

19. Вычислите определитель матрицы

3

1

−5

− 2

2

0

−13

4

−5

2 −3 − 20 16 −15

0

4

2

− 2

0

0

2

2

2

;

а)

1

1

1

0

; б)

0

0

− 2

3

0

2

− 2

− 4 − 2

0

0

−3

0

−3

13

17

4

−1

−3

14

−11

−17

1

1

в)

− 2

3

−1

0

0

.

−1

−3

2

0

0

1

1

−3

0

0

20.

Найдите

определитель

матрицы

X ,

если

−

5

0

5

3

−2 5

−

4

1

4

4

−2

−3

X

=

.

−

3

−1 − 4

−3 4

3

21.

Решите

систему

уравнений

по формулам

Крамера:

(1 −3i)x −(2 +i) y = −7 −7i

.

(2 − 4i)x + (3 −3i) y =14 −16i

22.

Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную

форму f (x , x , x )=16x x

− 40x x

− 20x x

+16x 2

+3x

2 +50x 2 .

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

3

23.

При

каких

значениях

параметра

a

квадратичная форма

5x 2

+ x 2

+ (a − 4)x

2 + 4x x − 2x x

− 2x x

является положительно оп-

1

2

3

1

2

1

3

2

3

24.

При

каких

значениях

параметра

a квадратичная форма

− 2x

2

+ ax 2 − 2x 2

+8x x

2

+16x

2

x является

отрицательно определен-

1

2

3

1

3

ной?

25. Найдите собственные значения матрицы:

− 22

−12

− 24

3

12

12

12

8

12

0

9

6

а)

;

б)

.

16

8

18

− 2 −8 −8

7

−12 6

−8

0

−30

а)

3

−5

3

, λ =3;

б)

−5

2

−15

, λ = 2 .

C =

C =

1

− 4

6

5 0

17

27. При каких значениях параметра m матрица

5

8 − m

имеет

A =

2

−3

28. При каких значениях параметра m матрица

2

− m

− 4

имеет:

A =

4

5

29. При каких значениях параметра m ≠ 0 матрица

m − 2

−6

A =

−3

− m −9

имеет нулевое собственное значение?

eG

30. Найдите координаты вектора в базисе e = (−3;0;0),

= (0;2;0),

1

2

e3 = (0;0;−1),

если (3;3;10 )

–

его координаты в базисе

f1 = (− 2;0;0),

f2 = (2;3;−1),

f3 = (1;0;2).

31. В пространстве строк

R3

действует линейное преобразование

f

32. Найдите матрицу перехода от базиса

f1 = (1; 2) ,

f2 = (−3; 1)

к бази-

су

gG

= (2; 1) , gG

2

= (1; −3) .

1

33.

Линейное преобразование

f

пространства R2

задано своей мат-

1

−3

′

преоб-

рицей A =

в стандартном базисе. Найдите матрицу A

2

1

разования

f

в базисе aG

= (2; 1) , a

2

= (1;

−3) .

1

34.

Квадратичная форма

f задана на пространстве R2 своей матри-

цей

1

3

′

квадра-

A =

в стандартном базисе. Найдите матрицу A

3

2

тичной формы

f

в базисе a1 = (2; 1) ,

a2 = (−1; 3) .

35.

Найдите проекцию точки

A(2;3)

на прямую,

содержащую точки

B(4;9) и C(4;−4) .

36. Найдите проекцию точки A(2;4)

напрямую l : 3x + 2 y −1 = 0 .

37.

Найдите точку

′

A(2;1)

относительно пря-

A , симметричную точке

мой l : 6x + 2 y −5 = 0 .

38.

Найдите точку

′

A(1;2)

относительно пря-

A , симметричную точке

мой, содержащей точки

B(3;6)

и C(2;−3) .

39.

Даны точки A(a;1) , B(2;3) ,

C(4;−1) . При каком значении параметра

a

вектор

G

(6;−3) является

вектором

медианы

→

m =

BB1 треугольника

ABC ?

40.

В треугольнике ABC векторы

→

→

= (−16;12) . При ка-

AC = (5;12) , AB

высоты треугольника ABC ( H – основание высоты

AH принадлежит

стороне BC )?

→

→

41. В треугольнике ABC векторы BA = (−5;−12) , BC = (9;−24a) . При

→

= (3a;−12)

является вектором

каком значении параметра a вектор BB1

42.

При каких значениях параметра α прямые l

:

x − 2

=

y −1

и

1

3

−4

l2

:αx − 4 y −8 −α = 0 пересекаются под прямым углом?

43.

При каких значениях параметра m прямые l1 : y = 2mx + m +5

и

l2

: 6mx + 2 y −3 = 0 пересекаются под углом 45D ?

44.

При каких значениях параметра a прямые l1 : x + ay +16 +16a = 0 и

l2

: −ax − y +1 − a2 = 0 параллельны, но не совпадают?

45.

Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-

49. Найдите проекцию точки

A(3;0;2)

на плоскость

прямой

l :

x + 4

=

y −1

=

z −4

.

2

2

− 2

52.

Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану

AM треугольника

ABC

с вершинами

A(2;1;−4) ,

B(−4;3;−16) и

C(8;−5;−24) .

53.

При каких значениях параметра α точка C(−α + 2;−1,4;2,4)

принад-

лежит отрезку [ AB] (или является комбинацией точек

A и

B ), если

A(1;−1;2) и B(2;−3;4) ?

54.

При

каких

значениях

параметра

a

прямые

l

:

x −1

= y −1 =

z −(a −2)2

и l

:

x

=

y

=

z

пересекаются?

a

a

−1

−a

−1

1

2

55.

При

каких

значениях

параметра

a

прямые

l

:

x −1

=

y −1

=

z −(a −

2)2

и l

: x =

y

= z

скрещиваются?

− 2a

−2

− 2a

a

1

2

56.

При

каких

значениях

параметра

a

прямые

l

:

x −1

=

y −1

=

z −(a −

2)2

и l

:

x

=

y

=

z

параллельны, но не сов-

3a

3

3a

−1

−a

−1

1

2

падают?

57.

При

каких

значениях

параметра

a

прямые

l

:

x −1

= y −1 =

z −(a − 2)2

и l

2

: x =

y

= z

совпадают?

1

a

a

a