Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra and geometry

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

416 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

58. При каких значениях параметра a в пространстве R4 прямая

d :	x1 −5	=	x2	=	x3 + 4	=	x4 −1	ортогональна гиперплоскости
					−3a −15		−3
	a − 2 6

Г : 2x1 + (a + 2)x2 + x3 + (a +5)x4 + 4 = 0?

59. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных неравенств:

		10x			− 4x	≥18
				1		2
			6x1 +5x2 ≤107
		4x		−9x		≤ −15;
			1		2
			x	≥ 0, x		≥ 0
			1		2
60.		Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой
линейных ограничений:
				8x1 −3x2 − x3 = 4
			4x1 + 6x2 + x4				= 92
			4x1 + 6x2 + x4				= 92			.
			4x1 −9x2 + x5 = −28							.
			4x1 −9x2 + x5 = −28
x		≥	0, x		≥ 0, x ≥ 0, x		4	≥ 0, x		≥ 0
	1			2		3	4		5

ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

Вариант 1

1. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

x1 + 2x2 +3x3 + x4 = 62x1 + x2 +6x3 + x4 =10−3x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2

2x1 − x2 + x3 + x4 = −2

GИсследуйте

наG

линейную зависимость

следующие

векторы:

a1 = (5;0;−1;5) ,

= (0;−4;3;3) , a3 = (−1;3;5;4) , a4 = (−6;3;6;−1) .

Найдите смешанное произведение векторов

a =(0;2;0) , bG =(−2;0;3)

. Чему равен объём V параллелепипеда, построенно-

c = (−1;−3;−2)

го на векторахG

aG,

b Gи

c ? Какую тройку (правую или левую) обра-

зуют векторы a , b и c ?

A−1 ,

Используя

определители,

найдите

матрицу

если

−3

A =

−2

5. Найдите комплексные корни уравнения

x6 =1.

=(−3;1) к базису

6. Найдите матрицу перехода от базиса f

=(1;2) , f

= (2;1) ,

= (1;−3) .

Разложите

JG2

по

базису

вектор

x =3 f

+ 4 f

JG1

g1 ,

g2 .

При

каких

значениях параметра a

прямые

l :

x −25

y −125

z −(a −10)2

скрещиваются?

200

8.Дайте определение и перечислите свойства скалярного произведения векторов из Rn . Докажите неравенство Коши-Буняковского.

Вариант 2

1. Найдите значения параметра m , при которых система линейных уравнений

1		−2	−1	−8 x1		16
	1	−1 3		−5	x		20	,
					2	=		,
	2	−5	−1	−18			40
	2	−5	−1	−18	x3		40
	−2 4 m 15				x4		−44

заданная в матричной форме, имеет бесконечное множество решений.
Для найденных значений параметра укажите общее решение системы
2.GВычислите						G
2.GВычислите	ранг			системы векторов: a1 = (2;−4;0) ,		a2 = (0;−2;0)	,
a3 =(−2;0;0) .
			1	3	5

			2	2
3. Вычислите			2	2	.
		−	3	1

			2	2
			2	2

4. Запишите формулы Крамера для линейной системы уравнений с тремя неизвестными. Решите по формулам Крамера систему уравне-

x + y = 6 ний: y + z =6 .

z + x =6

5.	Найдите				собственные	значения матриц C5	и		C−1 , если
		2	−2
C =		1	5		.
		1	5
6.	Квадратичная форма f					задана на пространстве R2	своей матрицей
		1	2		в стандартном базисе. Найдите матрицу		A'	квадратичной
	A =	2	1		в стандартном базисе. Найдите матрицу		A'	квадратичной
		2	1
формы			f	в базисе aG1 =(1;1) , a2 = (−1;2) .
7.	При каких значениях параметра a точка C(5 + 2a;						11	;6)	принадле-
							5

жит отрезку [ AB], если A(7;3;6) и B(5;2;6) ?

8. Докажите, что множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство.

Вариант 3

1. Найдите размерность пространства решений и фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:

9 −2 14 3

18 −4 28 6

−27 6 −42 −9

Разложите векторыG

a1 =(−6;9;9) , a2 =(−4;1;1) по базису, состав-

ленному из векторов c1

=(1;1;0) , c2 = (1;−4;−4) , c3 = (−2;3;1) .

3.G

Найдите

векторное

произведение

a ×bG

если aG

= (−2;1;−2) ,

b =(−3;−2;3) . Чему равна площадь S параллелограмма, построенно-

го на векторах aG

и bG?

При

каких

значениях параметра

столбцы

матрицы

−2

−1

A =

линейно зависимы?

−1

−6

Решите по формулам Крамера систему линейных уравнений:

(2 +3i)x −(3 −2i) y = −5 +12i(3 + 2i)x +(2 −3i) y =12 −5i

6. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-

триситет равен	65	, а расстояние между фокусами равно 2 65 .
	9

7. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой

линейных ограничений:	9x −6x			≥9
	9x −6x			≥9
	5x1	1	2
	5x1	+5x2 ≤105
4x		−11x	≤ −21
	1	2
	x	≥0, x		≥ 0
	1	2

8. Дайте определение базиса векторного пространства. Докажите однозначность разложения вектора по базису векторного пространства.

Вариант 4

−9 7			5 6 x1					0
	0	5	−7 −9		x				0
						2	=
	0	0	7 −9						0
	0	0	7 −9		x3				0
	−27 21 15 18				x4				0
				1		3		1		1
				−3		−8		1		3
2. Из системы строк матрицы A =				−3		−8		1		3	выделите мак-
				7		19		−1 −5
				7		19		−1 −5
				−4		−11		0		2

симальную линейно независимую подсистему и представьте остальные строки в виде линейных комбинаций выделенных.

		−1		0	3	2	3
			0	−1	−1	−1	0

3.	Найдите определитель матрицы		0	1	2	−1	0
								.
			2	1	−2	3	0
			3	0	3	−3	−2

4. Найдите матрицу A−1 методом элементарных преобразований, если
−1		2	−3
	3	3	1
A =				.
	1	1	−2

5. При		каких		значениях			параметра		p квадратичная форма
32x x		−16x x		+ 2 px x		+8x2	+8x2	+ 40x2	является положительно оп-
2	3	1	3	1	2	1	2	3

ределенной?

6.Найдите точку A', симметричную точке A(3;6) относительно прямой, содержащей точки B(−2;3) и C(6;1) .

7.Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:

		9x1 −6x2 − x3 =6
		4x1 + 4x2 + x4 =76
		4x1 + 4x2 + x4 =76
		5x1 −10x2 + x5 = −10
		5x1 −10x2 + x5 = −10
x		≥ 0, x	≥ 0, x	≥ 0, x	≥ 0, x	≥ 0
	1	2	3	4	5

8. Докажите теорему о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных уравнений.

Вариант 5

1.GДополните до ортогонального базиса векторы a1 = (−3;−2;1) ,

aG	2 = (−2;−1;−8)				и в полученном базисе найдите координаты вектора
x	=(−3;0;1) .
2.	Решите матричное уравнение:
					−2	−3	0	0	3	−1 −1 0
					−2	−3	0 1 1			−1 −1 0
						X	0 1 1			=	−2	.
					−3 0		2	−3	0	2 0	−2
3.							2	−3	0
3.	При		каких			значениях				параметра		λ	матрица
		5	5		10	15
		5	9 −λ	2	10	15
A =		5	9 −λ		10	15		является невырожденной?
			15		20	25
	10		15		20	25
	10		15		5 9 −λ2

4. В пространстве R3 действует линейное преобразование f по правилу: f (a;b;c) =(c;a +3b +c;a) . Найдите его собственные значения и

собственные векторы.

5. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную

форму f (x1, x2 , x3 ) = 48x2 x3 −10x1x3 −40x1x2 + 25x12 +32x22 +17x32 . Вы-

разите нормальные координаты через исходные.

6. При каких

значениях параметра a прямые l :

x −9

y −27

z −(a −6)2

параллельны, но не совпадают?

7. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-

триситет равен 103 , а расстояние между фокусами равно 2 10 .

8. Выведите формулу изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.

Вариант 6

1.Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень 3 + 2i .

2.Решите систему матричных уравнений:

								11	−4
						X +5Y =		−30	9
								−30	9
								58	−21
								58	−21
					5X +		26Y =	−155	47
3. При								−155	47
3. При		каких			значениях параметра					λ	ранг матрицы
	4	4		8	12
	4	8 −λ	2	8	12
A =	4	8 −λ		8	12		равен 4?
	8	12		4	20
	8	12		4	20
	8	12		4	29 −λ2

40 6 −m

4. При каких значениях параметра m матрица A = имеет

16 −24

единственное действительное собственное значение? Найдите это собственное значение.

5. При каких значениях параметра p квадратичная форма

28x x		+56x x		−7x2	−7x2	+ px2	является отрицательно определен-
1	2	2	3	1	3	2

ной?

6. Найдите каноническое уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC с вершинами A(−2;−5;1) , B(4;−15;4) и

C(−8;25;6) .

7. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой расстояние между фокусами равно 4 17 , а асимптоты имеют уравнения

y = ±14 x .

8. Выведите формулу изменения матрицы квадратичной формы при замене базиса.

Вариант 7

1. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:

1 1

0 0

−3

2 3

−3 0

−4

−1 0

−2 3

−1 −7 15 −9

2.GПри каких

Gзначениях

параметра

векторы

=(λ;35;7) ,

a2 = (λ;λ;42) ,

a3 = (112;35;49)

образуют ортогональный базис про-

странства R3 ?

3. Решите матричное уравнение:

−3 4 1

−6

8 −25

1 3 −3

X = −12

−2 −17

−5 −3

−17 19

4. Найдите собственные векторы матрицы

−3

−9

D = −3

, отве-

чающие собственному значению λ =3 .

5. Линейное преобразование

пространства R2

задано своей матри-

цей

1 −1

A =

в стандартном базисе. Найдите матрицу A' преобра-

зования

a2 = (1;−1) .

в базисе a1 = (3;1) ,

6. Найдите,

при

каких

значениях

параметра

прямая

d :

x1 −1

x2 −3

x3 −1

x4 +8

четырехмерном пространстве

20 + 4a

a −2

ортогональна

гиперплоскости

Г: 8x1 + 4x3 + 4x4 (a +5) + x2 (8a +16) = 0.

7.Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой

линейных неравенств:

12x			−4x		≥ 28
	7x1	1		2
	7x1		+8x2 ≤161
			−12x2 ≤ −9
5x1			−12x2 ≤ −9
	x		≥ 0, x		≥ 0
	1		2

8. Дайте определение эллипса. Выведите каноническое уравнение эллипса.

Вариант 8

1. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

	x −2x + 2x					+3x	4		= −3
		1	2		3		4
	−2x1 + x2 −4x3 −2x4 = 4
		−2x	+ 2x	2	− x −2x				4	=3
		1		2		3			4
		2x	−3x	+ x		+ x		= −6
		1	2		3	4					G
2.GДополните											G
2.GДополните	до ортогонального					базиса векторы a1						= (3;3;1) ,
aG2 = (−1;3;−6)	и в полученном базисе найдите координаты вектора

x=(2;−1;2) .

3.Решите матричное уравнение:

−1 3 3			8	25	5
−5 −2	0		8	12 10
		X =
3 −2	4		−4 −8		−2

4. Найдите собственные векторы матрицы C4 , если		8	10
4. Найдите собственные векторы матрицы C4 , если	C =	−5	−7	.
		−5	−7

5.	Решите по формулам Крамера систему линейных уравнений, за-
данную в матричной форме:
				1 1 −1 x							9
				1 2 1							8
				1 2 1				y	=		8
				−2 −3 1							−19
				−2 −3 1				z			−19
6.	Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную
форму f (x , x , x ) =18x x						+6x x		+14x x			−9x2		−34x2 −21x2 .
	1	2	3	1	2	1	3		2	3		1	2	3
7.	Найдите точку A',			симметричную					точке			A(1;0;5)		относительно
плоскости π :			x + 2 y −4z −1 = 0 .
8.	Дайте определение гиперболы. Выведите каноническое уравнение
гиперболы.

																								ОТВЕТЫ
																						Примеры задач (А)
1. (−4;5;1;−4) ; 2. (17;23;−2) ; 3. 8 ; 4.																											−33; 5. −13							; 6.				62; 7. а) 3;							б) 2;			8.
																															18
xG = 7aG			+ 2aG					;		9. а) линейно зависима; б) линейно независима; 10.																																				x = 2 ,
		1			2																																									1	5
																																															5
x	= 6 ;			11.				а)		x = 5 ,							y =13 ;							б)		x = −		7		,	y = −				6	;		в)				x = y = z =3 ;					12.
x	= 6 ;			11.				а)		x = 5 ,							y =13 ;							б)		x = −				,	y = −					;		в)				x = y = z =3 ;					12.
1		5											7									7					11							11
		5											7									7					11							11
Xбаз = (68;−8;0;0) ;																13.							Xбаз		= (0;−6;33;0) ;									14.								X1 = (−5;−4;1;0) ,
X2 = (−2;−4;0;1) ; 15. а) 3; б) 1;																								16.		x =3 ,				y = 4 ,			z = −5 ;									17. x =5 ,				y = −3 ,
z = −3 ;					18.					а)	3;					б)			4;			в)		2;	г)		2; д)				2;	е)		3;			19.					− 4	− 2			− 2
z = −3 ;					18.					а)	3;					б)			4;			в)		2;	г)		2; д)				2;	е)		3;			19.											;
																																											− 2			−8
																																										− 2	− 2			−8
		36 −18 0																								9		2										−7				−8	−13
20.		36 −18 0									;					21.						а)				9		2			;	б)						−6				−8	− 2				;в)
20.											;					21.						а)									;	б)						−6				−8	− 2				;в)
																									−	24 −
		−18 18 0																							−	24 −			6								16					20	16
																																					16					20	16
11 10 23																2						1		1					− 2			−1										4 0
11 10 23										; г)						4						2		2		;	22.		− 2			−1					23.					4 0				24.		а)
										; г)						4						2		2		;	22.								;		23.							;		24.		а)
	9	−11 11																													1
	9	−11 11																													1	2										0 4
														− 2							−1 −1
										2			2					−				1
	1		4
										7			35							10
		−
		−																																											1
	7		7							1				6						1				25. 36; 26. а) 54; б) 48;																27. 64;			28.		1		29.
	7		7		; б)					− 7			35							5																									9 ;
	2	−	1		; б)					− 7			35							5			;																						9 ;
		−								1				1						1
7			7							1				1						1
										7			35							5
					2π			+i sin					2π						30.				x {−4; 2 ± 2 3 i};										31.					z	3		=1; 32.			а)		10;		б)
					2π								2π																										3
z = 4 cos																;
					3									3
					3									3
	2 ; 33. а)					2π			; б)			3π			; в)				π ;				34.		x2 −6x + 25 = 0 ; 35. а)																λ = −4 ,			λ	2	= 2 ; б)
	2 ; 33. а)								; б)						; в)				π ;				34.		x2 −6x + 25 = 0 ; 35. а)																λ = −4 ,			λ		= 2 ; б)
							3						4							2																						1
							3						4							2
λ1 = −3 , λ2 =3 ; в)														λ1 = 0 , λ2 =1;													г) λ1 = −4 , λ2 = 4 , λ3 =5; д) λ1 = −3 ,
λ2 = −2 ,				λ3 = 4 ; е)									λ1 = −2 ,									λ2 = 0 ,				λ3 = 3; 36.						λ1 =1,						λ2 = −8 ; 37.							λ1 = −1,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015593 Кб38Access_pdf.pdf
#
03.08.201978 Кб6Administrativnoe_-_ekzamen_3_kurs.docx
#
26.09.2019290 Кб11AFO.doc
#
13.03.2015202 Кб8aggregate demand questons.pdf
#
26.05.2015290 Кб8aikp_kontr.pdf
#
13.03.2015416 Кб10Algebra and geometry.pdf
#
13.03.2015739 Кб12algebra.doc
#
01.04.2025174 Кб3allbest.rtf
#
01.05.202565 Кб5Amerikanskaya_i_yaponskaya_sistema_upravlenia.doc
#
06.08.2019145 Кб7analiz_shpory.doc
#
01.07.2025522 Кб3Anatomia.doc