Задания для самостоятельной работы

1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:

а) ;	г) ;
б) ;	д) ;
в) ;	е) .

2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

Лекция 15

Понятие о классификации линий второго порядка.

Приведение общего уравнения линии второго

порядка к каноническому виду

§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка

Уравнение

, (43)

где не равны нулю одновременно, называетсяобщим уравнением линии второго порядка.

Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).

Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.

Справедлива

Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.

В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:

Название линии второго порядка	Каноническое уравнение
Эллипс Гипербола Парабола Мнимый эллипс Пара пересекающихся прямых Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке Пара параллельных прямых Пара мнимых параллельных прямых Пара совпавших прямых	или или или или или

Задания для самостоятельной работы

1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:

а) ; г);

б) ; д);

в) ; е).

2. Определите тип линии второго порядка:

а) ; г);

б) ; д);

в) ; е).

3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:

а) ; в);

б) ; г).

4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:

а) ; г);

б) ; д);

в) ; е).

§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат, в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.

Итак, пусть линия второго порядка задана в системеобщим уравнением.

Если , то приведение общего уравнения линиик каноническому виду происходит в два этапа:

I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворотанаходят следующим образом:

Тогда координаты координатных векторов ив системебудут находиться так:

. (44)

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

(45)

Подставляем ииз формул (45) в общее уравнение линии. После преобразований исчезает член. Получаем уравнение линиив промежуточной системе координат.

II этап. Выделяем полные квадраты при ии совершаем перенос началав точкупо формулам

(46)

Координаты точкивычислены в системе.

Подставляем из формул (46) в уравнение линиив системе. После преобразований получаем каноническое уравнение линиив новой системеи определяем ее вид.

Строим старую систему координат , промежуточную, новуюи линиюпо ее каноническому уравнению в системе.

Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:

1.Уравнение содержит переменные иво второй степени. Тогда выделяются полные квадраты прии. В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.

2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.

3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.

Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу соII этапа.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Привести общее уравнение линиик каноническому виду, определить вид линиии построить ее изображение.

Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим.

Найдем угол поворота координатных осей:

Находим координаты координатных векторов ив системе координат:

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

Подставляем ииз полученных формул в общее уравнение линии:

После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат:

.

II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и:

Положим

тогда получаем формулы переноса начала:

При этом точка переходит в точку, координаты которой найдены в системе.

Линия в системебудет иметь уравнение

.

Приведем это уравнение к каноническому виду:

.

Следовательно, - гипербола с мнимой осью.

Последовательность построения изображения гиперболы такова:

а) Строим старую систему координат .

б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторовина угол, построим сначала вспомогательные векторыи, которые будут коллинеарны векторамисоответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатамии(рис. 98). Тогда единичные векторыибудут сонаправлены с векторамии, а оси координатипройдут через точкуи точкиисоответственно (рис. 98).

в) Строим новую систему координат .

г) Строим линиюпо ее каноническому уравнению в системе координат(рис. 99).