Отображение p-плоскости на z-плоскость

p-плоскость p=+j				z-плоскость z=+jrej
№						r
1	0	0		1	0	1	0
2	– 	0		0	0	0	0
3	0			0	1	1
4	0			0	– 1	1
5	0			– 1	0	1	
6	0			– 1	0	1	–
7	Отрезок мнимой оси			Единичная окружность(один оборот)
	0			r= 1
8	Коридор в левой p-полуплоскости			Единичный круг
	 ≤ 0			r≤ 1
9	Коридор в правой p-полуплоскости			Область вне единичного круга
	 > 0			r> 1

Основные свойства z-преобразования

Линейность:z-изображение линейной комбинации последовательностей

равно линейной комбинации z-изображений данных последовательностей

Теорема о задержке: z-изображение последовательности, задержанной на m (m > 0)отсчетов, равноz-изобра­жению незадержанной последовательности, умноженному наz^–m, т. е. если

,

то

.

Теорема о свертке:z-изображение свертки последовательностейи

равно произведению z-изображений свертываемых последовательностей

.

В приведенных выше свойствах z-изображение вычисляется по формуле прямогоZ-преобразования (1.22).

Обратное z-преобразование

ОбратноеZ-преобразование определяется соотношением

где – символическое обозначение обратногоZ-преобра­зования;

–любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все ее особые точки (см. п. 1.4.2) и начало координат комплексной z-плоскости.

Существуют упрощенные способы вычисления обратного Z-преобразования, заменяющие непосредственное сложное вычисление интеграла по замкнутому контуру; наиболее простой из них основан на использовании таблицы соответствий (табл. 1.4), где последовательности представлены в нормированном времени (см. п. 1.1).

Поясним правило пользования табл. 1.4 на примерах.

Пример 1.6.Известноz-изображение

.

Требуется найти оригинал .

Решение. Представим дробно-рациональную функциюв виде суммы

Таблица 1.4

Таблица соответствий

№	Последовательность	z-изображение
1
2
3
4		, где

(1.38)

и, пользуясь свойством линейности Z-преобразования, определим оригиналкак сумму обратныхZ-преобразований:

.

Оригинал

,

согласно табл. 1.4 (столбец 3 при ), а также свойству линейностиZ-преобразования равен

. (1.39)

Оригинал

согласно табл. 1.4, (столбец 3 при ), а также свойству линейностиZ- преобразования и теореме о задержке равен

.

Искомый оригинал равен сумме последовательностей и:

. (1.40)

С учетом нулевых начальных условий оригинал определяется следующим образом:

поскольку при значениеопределяется в области отрицательного времени

и, следовательно, при нулевых начальных условиях

.

1.4.2. Передаточная функция. Соотношение вход/выход

Основной характеристикой ЛДС в z-области являетсяz-изо­бражение импульсной характеристики

, (1.41)

которое определяется по формуле прямогоZ-преобразования (1.22)

. (1.42)

При известном z-изображенииимпульсная характеристиканаходится с помощьюобратногоZ-преобразования

, (1.43)

где называютпередаточной функцией(ПФ) ЛДС; это математическое определение ПФ.

Соотношение вход/выходЛДС вовременнойобласти описывалось с помощью формулы свертки, либо в виде разностного уравнения. Рассмотрим поочередно их отображение вz-области.

Формуле свертки(см. п. 1.3.1)

в z-областисоответствует уравнение (см. п. 1.4.1)

, (1.44)

где и–z-изображения воздействия и реакции.

На основании (1.44) передаточную функцию можно представить как отношение

, (1.45)

которое позволяет ее определить подобно передаточной функции линейных аналоговых систем.

Передаточной функцией ЛДС называется отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Данное определение ПФ не противоречит приведенному математическому (1.42). Действительно, согласно определению, импульсная характеристика есть реакция на воздействие в виде цифрового единичного импульса.

Подставив z-изображения данных воздействия и реакции в (1.45) и учитывая, что(см. табл. 1.4), получим определение ПФ (1.42):

.

Разностному уравнению(1.15)

в z-областисоответствует уравнение, которое можно получить, выполнивZ-преобразование правой и левой частей РУ:

.

Используя свойства Z-преобразования (линейность и теорему о задержке), запишем

,

откуда после приведения подобных имеем алгебраическое уравнение

. (1.45а)

Разделив обе части этого уравнения на , получим передаточную функциюобщеговида

. (1.46)

ПФ (1.46) представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно порядковисоответственно свещественнымикоэффициентамии. Следовательно, ПФ зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС (см. п. 1.3.2) и не зависит ни от воздействия, ни от реакции.

ПорядкомПФназывают наибольшее из чисели. Здесь и далее полагаем, чтопорядок многочлена числителя не превосходит порядка многочлена знаменателя:

.

Передаточные функции 1-го и 2-го порядков описывают простейшие ЛДС, называемые звеньями 1-го и 2-го порядковсоответственно.

Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (1.46) характеризуется своими особыми точками(полюсами) инулями.

НулямиПФ называют значения z, при которыхоказывается равной нулю.

Особыми точками (полюсами) ПФ называют значенияz, при которых знаменательоказывается равным нулю [1].

Картой нулей и полюсовназывают изображение координат нулей (кружочками_) и полюсов (звездочками_*) на комплекснойz-плоскости. Как будет показано (см. пп. 1.5.5–1.5.6), такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС.