1.4.3. Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения

Из сравнения передаточной функции (1.46) и соответствующего ей разностного уравнения (1.15) легко видеть, что:

- многочлен числителя ПФ связан с отсчетами воздействия ; при этом величина задержки i отсчета отображается степенью , а коэффициенты остаются неизменным; символически это соответствие можно записать следующим образом:

, ;

- многочлен знаменателяПФ связан с отсчетами реакциии , при этом свободный член всегда равен 1:

,

так как в РУ он соответствует реакции (см. п. 1.4.2);

величина задержки kотсчетаотображается степенью, а коэффициентыменяют знак; символически это соответствие можно записать следующим образом:

.

Пример 1.7.Дана передаточная функция общего вида. Записать соответствующее ей разностное уравнение:

- для звена 1-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 1-го порядка):

передаточной функции

(1.47)

соответствует разностное уравнение

; (1.48)

- для звена 2-го порядка (числитель и знаменатель ПФ – многочлены 2-го порядка):

передаточной функции

(1.49)

соответствует разностное уравнение

. (1.50)

Звено называют базовым, есличислительего передаточной функции равен 1.

ПФ базовых звеньев 1-го и 2-го порядков имеют вид соответственно:

; .

1.4.4. Передаточная функция и импульсная характеристика звена 2-го порядка

Упрощенная методика определения импульсной характеристики по заданной передаточной функциипредполагает, что взаимосвязь между ИХ и ПФбазовыхзвеньев известна из таблицы соответствий (см. табл. 1.4), в предположении, что:

–передаточная функция базовогозвена;

–импульсная характеристика базовогозвена.

Следовательно, передаточной функции базовогозвена 1-го порядка

соответствует импульсная характеристика

,

а передаточной функции базового2-го порядка

соответствует импульсная характеристика

, (1.51)

где и– радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов

. (1.52)

Значения и_*иисвязаны между собой соотношениями (см. табл. 1.4)

; (1.53)

. (1.54)

Напомним (см. рис. 1.11), что угол полюса есть нормированная частота.

Здесь и в дальнейшем будем использовать индексы звездочка и кружок для обозначения полюсаинулясоответственно.

Для записи ИХ небазового звена 2-го порядка достаточно воспользоваться свойствами линейности Z-преобразования и теоремой о задержке.

Тогда передаточной функции небазового звена 2-го порядка

будет соответствовать импульсная характеристика небазового звена 2-го порядка

(1.55)

или с учетом нулевых начальных условий

1.4.5. Оценка устойчивости по передаточной функции

В п. 1.3.6 при описании ЛДС во временнойобласти рассмотрен критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике. В z-области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция (z-изображение ИХ), существует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции, а именно:для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной z-плоскости

, 1, 2,…,, (1.57)

где –k-й полюс ПФ (1.46).

На практике устойчивость рекурсивных ЛДС обычно оценивают по более удобному критерию (1.57) – положению полюсов на картенулей и полюсов.

1.4.6. Нули и полюсы передаточной функции звеньев 2-го порядка

Звено 2-го порядка описывается передаточной функцией (1.47). Найдем комплексно-сопряженные полюсыв виде

,

где значения радиуса и углана комплекснойz-плоскости выражаются через коэффициентыина основании соотношений (1.52) и (1.53) следующим образом:

; (1.58)

. (1.59)

Для вычисления нулей в общем случае следует умножить числитель и знаменатель ПФ (1.47) на

и найти корни уравнения числителя

,

которые могут быть вещественными или комплексно-сопря­жен­ны­ми (в зависимости от знака дискриминанта):

.

Если нули – комплексно-сопряженные

,

их следует представить в показательной форме

, (1.60)

где радиус и уголопределяются из (1.31) и (1.32) соответственно:

; .

Если коэффициент , то вычисление комплексно-сопряжен­ных нулей можно упростить: не умножая числитель и знаменатель ПФ (1.47) на, определять нули в виде (1.60), гдеr_ и рассчитываются по формулам подобным (1.53)–(1.54), а именно:

; .