5. Системы линейных уравнений. Основные понятия

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы

– матрица коэффициентов при неизвестных,

- матрица-столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения

,

а решение (9) в виде матрицы-столбца .

Матрица коэффициентов

называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.

6. Решение линейных систем по формулам Крамера

Теорема Крамера.

Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных

(10)

Если определитель основной матрицы системы

, (11)

не равен нулю, то система имеет единственное решение и , где

Определители , получены из определителя (11) заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

►Пример 8. По формулам Крамера найти решение системы уравнений

Решение.

Вычислим определители и найдем решение

Ответ: .◄

Упражнения.

Решить системы по формулам Крамера:

1) 2) 3)

Ответы: 1) , 2) , 3) .