Сопромат Лекции Часть 1

Рис. 7.20. Кручение тонкостенного бруса прямоугольного сечения

7.6.2Общий случай свободного кручения тонкостенного бруса с открытым профилем

Если сечение бруса нельзя развернуть в прямоугольник (рис. 7.21), то момент к рассматривается как сумма моментов, действующих в от-

Рис. 7.21. Общий случай тонкостенного бруса с открытым профилем

Из полученной формулы видно, что наибольшие напряжения действуют в элементе с наибольшей толщиной наиб, тогда

наиб = кк · наиб.

7.6.3Свободное кручение тонкостенных брусьев с замкнутым профилем

В связи с малой толщиной профиля можно сделать следующие допущения (рис. 7.22):

Рис. 7.22. Кручение тонкостенного бруса с замкнутым профилем

1)касательные напряжения по толщине сечения не изменяются;

2)направление касательных напряжений параллельно касательной к срединной линии сечения.

Следовательно, поток касательных напряжений по длине срединной линии не меняется.

Рассмотрим в поперечном сечении замкнутого контура элементарный участок длиной (рис. 7.23)

íî ( ) · = 2 · *, ãäå * площадь заштрихованного треугольника,

Рис. 7.23. Определение касательных напряжений

основанием которого является дуга срединной линии . Следовательно

Наибольшие касательные напряжения действуют в точках сечения с наименьшей толщиной стенки

к

наиб = 2 · * · наим ,

ãäå к = 2 · * · наим условный момент сопротивления сечения круче-

íèþ.

Угловое перемещение определим из энергетических условий: = (рис. 7.24):

Рис. 7.24. Определение перемещений бруса

1

= 2 · к · работа внешних сил.

Энергия деформации может быть определена через удельную энер-

2

гию деформации 0 = 2 · .

тонкостенного стержня с замкнутым профилем.

7.7Вопросы для самопроверки

Что называется крутящим моментом? Как он определяется, его размерность? Что такое чистый сдвиг, как формулируется закон парности касательных напряжений? Напишите закон Гука при сдвиге. Как найти касательное напряжение в произвольной точке бруса круглого поперечного сечения? Покажите закономерность распределения касательного напряжения в брусе круглого поперечного сечения. Что такое полярный момент инерции сечения, момент сопротивления кручению? Чему они равны для круглого и кольцевого сечений и их размерность? Как определяется угол закручивания бруса? Как решаются основные задачи расч¼та на прочность при кручении?

Происходит это следующим образом: с ростом силы стержень сна-

чала оста¼тся прямолинейным, однако, при некотором значении силы= кр, стержень вдруг выпучивается (пунктирные линии), т. е. воз-

никают прогибы, соизмеримые с длиной стержня. При этом, к напряжениям от сжатия добавляются напряжения от изгиба и вот, хотя

< [ ], но суммарное напряжение достигает предела прочности ма-

териала и стержень разрушается. Стержень может и не разрушиться, но выпучится и останется в выпученном состоянии. Явление выпучивания в конструкциях не допустимо, т. к. нарушается нормальные условия работы всей конструкции. Описанное явление выпучивания называется потерей устойчивости сжатым стержнем.

Сила, при которой происходит потеря устойчивости, называется критической силой и обозначается через кр.

Описанное явление с позиций теории устойчивости объясняется следующим образом: при < кр устойчивой является прямолинейная фор-

ма стержня. Это означает, что если вывести стержень из положения равновесия, а затем освободить, он верн¼тся в устойчивую (прямолинейную) форму. При > кр прямолинейная форма становится неустойчивой, а

устойчивой становится криволинейная форма. Но, на практике, толчка (возмущения) делать не нужно, т. к. стержень не идеально прямой и силы приложены не точно по оси стержня, поэтому при = кр îí ñàì

выпучивается.

При расч¼те сжатых стержней необходимо рассматривать два усло-

âèÿ: 1) ≤ [ ] условие прочности;

критическое напряжение, при которой стержень теряет устойчивость,кр = [ ]кр допускаемое напряжение на устойчивость или допускаемое

кр

напряжение на продольный изгиб. Тогда ≤ [ ]кр условие устойчиво- ñòè.

Таким образом, чтобы работа сжатого стержня была безопасной, должны быть выполнены два условия.

Для коротких стержней определяющим является первое условие, а для длинных второе. Чтобы не рассматривать границу между ними, необходимо пользоваться обоими условиями.

Чтобы воспользоваться условием устойчивости, нужно знать крити- ческую силу. Как е¼ найти? Первые результаты в этой области были

получены в середине XVIII века Л. Эйлером в период его работы в Петербургской академии наук (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Решение задачи Эйлера

Эйлер рассматривал стержень длиной с шарнирно-закрепл¼нными концами. Сила настолько большая, что она удерживает стержень в искривл¼нном состоянии, то есть она достигла кр.

Отметим прогиб стержня в произвольном сечении . Стержень изо-

гнут и находится в упругом состоянии, поэтому воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Обращаем внимание, что мы воспользуемся облегч¼нным дифференциальным уравнением, поэто-

му рассматриваем только начало потери устойчивости.

· · ′′ = , ãäå = − кр · . Знак "минус так как изгибающий момент отрицательный, тогда · · ′′ = − кр · , преобразуем

′′ + 2 · = 0,

кр

ãäå 2 = · .

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно написать характеристическое уравнение и найти его корни. Решение этого уравнения ищем в тригонометрических функциях:

= · sin + · cos .

Определим постоянные интегрирования из граничных условий:

жить, что = 0, то все прогибы будут равны нулю, т. е. выпучивания не будет.

кр = 2 · 2 · · ,2

то есть имеет место целый ряд критических сил:

Здесь модуль продольной упругости материала стержня, мо-

мент инерции поперечного сечения стержня. Из формул видно, что выпучивание произойд¼т, прежде всего, в плосости наименьшей ж¼сткости.

Из этого ряда критических сил будет иметь место только наименьшая критическая сила. кр(0) значения не имеет, поэтому

кр = 2 · · наим

2

формула Эйлера для критической силы.

Àкакие будут перемещения после выпучивания?

= · sin

уравнение изогнутой оси стержня половина волны синусоиды. Чему равно наибольшее отклонение ? На этот вопрос ответить не представ-

ляется возможным, так как использованы все граничные условия. Это расплата за линеаризацию дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. Чтобы найти прогибы, нужно использовать полное дифференциальное уравнение. Привед¼м график зависимомти максимальных перемещений в зависимости от силы, полученный в точном решении (В.И. Феодосьев)(рис. 8.3).

Рис. 8.3. Перемещения сжатого стержня

кр

Критическое напряжение кр = напряжение, при котором наблюдается выпучивание.

Подставим в эту формулу значение критической силы и учт¼м, что

Чем больше гибкость, тем меньше критическое напряжение, тем меньшим усилием можно вывести стержень из положения равновесия.

кр = 2 ·2

формула Эйлера для критического напряжения.

8.2Влияние способа закрепления стержня на критическую силу

Рассмотрим несколько случаев закрепления стержня.

1) Шарнирный случай закрепления называется основным или случа- ем Эйлера (см. рис. 8.1).

кр = 2 · · наим .

2

2) Стержень ж¼стко защемл¼н одним концом (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Стержень с защемл¼нным концом

Какой будет формула для критической силы в этом случае? Нужно взять дифференциальное уравнение и удовлетворить новым граничным условиям.

Однако, есть другой путь: продолжив стержень вниз на , видим, что формулу Эйлера можно применить для стержня длиной 2 , тогда

кр = 2 · · наим .

(2 · )2

Здесь кр в четыре раза меньше, чем в основном случае, следовательно

и грузоподъ¼мность стержня в четыре раза меньше, то есть это очень невыгодный случай закрепления.

3) Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами (рис.

8.5).

Рис. 8.5. Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами

Как найти кр в этом случае? Можно взять дифференциальное урав-

нение и удовлетворить новым граничным условиям. Но можно воспользоваться одним результатом, следующим из решения Эйлера.

Отметим на изогнутой оси стержня две точки перегиба. В этих точках кривизна равна нулю, следовательно, и изгибающий момент равен нулю,

1

òàê êàê = · .

В точках перегиба связь, с помощью которой переда¼тся изгибающий момент, не используется, следовательно, в этих точках можно поставить идеальные шарниры ничего не изменится.

Видно, что часть рассматриваемого стержня длиной /2 находится в таких же условиях, как и в случае Эйлера, тогда

2 · · наим

кр = (0, 5 · )2 .

Здесь кр в четыре раза больше, чем в основном случае, то есть это очень

выгодное условие закрепления, существенно более экономичное, но формула будет справедлива, если по концам абсолютно ж¼сткое закрепление, а так бывает далеко не всегда. Как правило, закрепление бывает податливым, поэтому формулой Эйлера следует пользоваться осторожно.

4) Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами (рис. 8.6). Если решать эту задачу подробно, то окажется, что точка перегиба

находится на расстоянии 0, 7 · от шарнирной опоры.