Сопромат Лекции Часть 1

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 50

откуда cos2 окт = 13.

После подстановки и вычислений получаем

4.6Круги при Мора объёмном напряжённом состоянии

Для объ¼много напряж¼нного состояния можно также изобразить круг Мора.

Изобразим элемент, испытывающий объ¼мное напряж¼нное состояние, грани которого являются главными площадками. Вначале рассмотрим наклонные площадки, параллельные 1, òî åñòü cos 1 = 0 (рис. 4.15, а). Для таких площадок = 2 cos2 2 + 3 cos2 3. Ó÷ò¼ì, ÷òî

2 + 3 = 90 , тогда cos 3 = sin 2 è

= 2 cos2 2 + 3 sin2 2

это известная формула для плоского напряж¼нного состояния, геометрической интерпретацией которого будет круг Мора между 2 è 3.

Аналогично рассматривая площадки, параллельные 2 è 3, получим ещ¼ два круга Мора (рис. 4.15, б).

Рис. 4.15. Графическое определение напряжений при объ¼мном напряж¼нном состоянии

Итак, наклонным площадкам, параллельным одному из главных напряжений, соответствуют точки на одной из окружностей. Но есть площадки, не параллельные ни одному из главных напряжений. Этим площадкам соответствуют точки в заштрихованной области. Будем рассмат-

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 51

ривать только верхнюю часть, т.к. не оговорено направление касатель-

Следовательно, в случае объ¼много напряж¼нного состояния наибольшие касательные напряжения равны полуразности крайних главных напряжений. Установим площадку, на которой действуют наиб это площадка, параллельная 2 и наклон¼нная под углом 45 к главным напря- жениям 1 è 3.

Таким образом, мы научились определять напряжения на любых площадках при линейном, плоском и объ¼мном напряж¼нном состояниях. Однако, для расч¼тов на прочность и ж¼сткость этого ещ¼ не достаточ- но. Необходимо установить связь между напряжениями и деформациями, а также записать условия прочности для объ¼много напряж¼нного состояния.

4.7Закон Гука при объёмном напряжённом состоянии

Закон Гука устанавливает зависимость между напряжениями и деформациями.

При линейном напряж¼нном состоянии эта зависимость была установлена при изучении центрального растяжения и сжатия (рис. 4.16):

Рис. 4.16. Деформации при линейном напряж¼нном состоянии

= закон Гука,поп = − · = − · закон Пуассона.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 52

Теперь рассмотрим произвольно нагруженное тело и точку , в которой имеет место объ¼мное напряж¼нное состояние (рис. 4.17, а). Вырежем в окрестности точки элемент, грани которого являются главными площадками и определим деформации в направлениях 1, 2, 3.

Принцип суперпозиции позволяет представить объ¼мное напряж¼нное состояние как сумму тр¼х линейных и записать (рис. 4.17, б-г)

Рис. 4.17. Принцип суперпозиции для вычисления деформаций

1 = 11 + 12 + 13 = 1 − · 2 − · 3 ;

1

3 = · [ 3 − · ( 1 + 2)].

Эти уравнения представляют собой обобщ¼нный закон Гука, записанный в главных осях.

Относительные продольные деформации 1, 2, 3 по направлению главных напряжений называют главными деформациями.

1 ≥ 2 ≥ 3, òàê êàê 1 ≥ 2 ≥ 3. Кроме того 1 = наиб, 3 = наим

в алгебраическом смысле.

Теперь запишем закон Гука в произвольных осях, для чего вырежем в окрестности точки элемент, грани которого не являются главными площадками (рис. 4.18).

На площадках действуют 9 компонент напряж¼нного состояния. Нормальные напряжения вызывают только линейные деформации и не влияют на угловые. Касательные напряжения вызывают только угловые (сдвиговые) деформации и не влияют на линейные. Тогда

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 53

Рис. 4.18. Напряжения на произвольных площадках

ãäå изменение первоначально прямого угла между прямыми, парал- лельными осям x и y. Покажем , для чего рассеч¼м тело плоскостью, параллельной плоскости , до и после нагружения (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Графическая интерпретация угла сдвига

4.8Потенциальная энергия упругой деформации при объёмном напряжённом состоянии

Потенциальная энергия упругой деформации при центральном растяжении или сжатии, то есть в случае линейного напряж¼нного состояния, определяется по формуле

учитывая, что = · .

·

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 56

После деформации, вследствие изменения длины р¼бер, его объ¼м станет:

1 = ( + ) · ( + ) · ( + ) = · · + · · + + · · + · · + · · + · · + · · + · · =

При вычислении 1 бесконечно малыми слагаемыми второго и третьего порядка малости пренебрегаем.

Относительное изменение объ¼ма:

= 1 − = 1 + 2 + 3.

Подставив вместо 1, 2, 3 их значения из обобщ¼нного закона Гука, по-

лучим

= 1 − 2 2 · ( 1 + 2 + 3).

Из полученных формул видно, что относительное изменение объ¼ма зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому элементарный кубик (или параллепипед) получит одно и то же изменение объ¼ма независимо от того, будут ли по его граням действо-

вать различные по величине главные напряжения или одинаковые напряжения, равные их среднеарифметическому значению = 1 + 2 + 3

гидростатическому давлению.

3

Следовательно,

= 1 − 2 2 · 3 · .

Обозначая 3 · (1 − 2 · 2) = модуль объ¼мной деформации, полу-

1

чим = · или = · закон Гука при объ¼мном напряж¼нном состоянии.

В случае, если элементарный кубик находится под действием гидро-

статического давления, все ребра кубика получат одинаковую деформа-

1 + 2 + 3

öèþ = 3 средняя линейная деформация

= 3 = 3 · .

Средняя линейная деформация прямо пропорциональна гидростати- ческому давлению.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 57

4.10Теории предельных напряжённых состояний (теории прочности)

Так называют теории, которые позволяют составить условие прочности при любом напряж¼нном состоянии.

Условие прочности это зависимость между компонентами напряж¼нного состояния и характеристиками материала, позволяющая дать заключение о прочности детали (тела).

При линейном напряж¼нном состоянии (рис. 4.22) условие прочности записывается в виде

| | наиб= | | наиб ≤ [ ],

ãäå [ ] = ; опасное или предельное напряжение, вызывающее

в детали опасное состояние; коэффициент запаса прочности. Для пластичных материалов = т, а для хрупких = в.

Рис. 4.22. Прочность при линейном напряж¼нном состояним

При линейном напряж¼нном состоянии опасное напряжение может быть найдено опытным пут¼м при испытании образцов на растяжение.

Рассмотрим далее вопрос о том, как производить проверку прочности в случае объ¼много напряженного состояния, то есть когда все три глав- ных напряжения 1, 2, 3 отличны от нуля (рис. 4.23). В этом случае опасное состояние может наступить при различных величинах главных напряжений в зависимости от их соотношения, то есть каждому соотно- шению 1 : 2 : 3 будут соответствовать свои опасные величины главных

напряжений 1 , 2 , 3 .

Чтобы найти опытным пут¼м опасные величины главных напряжений, пришлось бы осуществить бесчисленное множество чрезвычайно сложных лабораторных испытаний при различных соотношениях 1 :

2 : 3, прич¼м, некоторые из этих соотношений, вообще невозможно

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 58

Рис. 4.23. Прочность при объ¼мном напряж¼нном состояним

получить на существующих испытательных машинах. По этим причи- нам опасное состояние материала при объ¼мном напряж¼нном состоянии устанавливают теоретическим пут¼м при помощи так называемых теорий прочности.

Теорией прочности называют предположение (гипотезу) о преимущественном влиянии того или иного фактора (критерия) напряж¼нного состояния на прочность материала. Цель теорий прочности заключается в том, чтобы, исходя из результатов простого опыта на растяжение и сжатие, получить возможность судить о прочности материала при объ¼мном напряж¼нном состоянии.

К настоящему времени выдвинуты десятки, даже сотни различных теорий прочности, но в расч¼тной практике, в основном, используются только четыре.

4.10.1I теория предельных напряжённых состояний

- теория наибольших нормальных напряжений (Г. Галилей, 1638 г.)

Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта.

Следовательно, в этом случае расч¼т необходимо вести по наибольшему главному напряжению, т. е. | | наиб≤ [ ].

| 3 |≤ [ ] с.

I теория неплохо согласуется с опытными данными лишь в случае всестороннего растяжения хрупких материалов. Во всех остальных случаях е¼ выводы не согласуются с результатами экспериментального исследования. Поэтому эта теория в настоящее время практически не применяется.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 59

4.10.2II теория предельных напряжённых состояний

- теория наибольших относительных деформаций (Мариотт, 1686 г).

Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта.

Следовательно, в этом случае расч¼т необходимо вести по наибольшей относительной деформации, т. е | | наиб≤ [ ].

Выражение в левой части получаем из обобщ¼нного закона Гука

| | наиб= 1 = 1 · [ 1 − · ( 2 + 3)].

Для получения выражения в правой части рассматриваем испытание

образца при центральном растяжении. Тогда 1 = , 2 = 3 = 0. Подставив значения главных напряжений в уравнение, получим | | наиб≤ , à

переходя к предельному состоянию [ ] = [ ].

Тогда условие прочности по II теории предельных напряж¼нных состояний запишется в виде

1 − · ( 2 + 3) ≤ [ ] èëè

| 3 − · ( 1 + 2) |≤ [ ].

При расч¼те на прочность деталей из хрупких материалов II-я теория да¼т результаты, удовлетворительно согласующиеся с опытными данными. Для пластичных материалов эта теория не применима. Не подтверждается эта теория и при всестороннем сжатии.

4.10.3III теория предельных напряжённых состояний

теория наибольших касательных напряжений (Кулон, 1773 г).

Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если наибольшее касательное напряжение не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта .

Следовательно, в этом случае расч¼т необходимо вести по наибольшим касательным напряжениям, то есть наиб

Рассмотрим выражения в левой и правой части этого неравенства Левая часть (из круга Мора при объ¼мном напряж¼нном состоянии)