Сопромат Лекции Часть 1

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС

Рис. 5.21. Определение величины и знака угла поворота

для определения координат центра тяжести сечения. Как определяются знаки статических моментов и центробежного момента инерции? Формула параллельного переноса осей. Относительно какой оси осевой момент инерции сечения достигает наименьшего значения? Какие оси называются главными, а какие центральными? Укажите основное свойство всех моментов инерции сечения. Как определяются главные моменты инерции сечения (аналитически и графически)? Как изменяются значения моментов инерции правильных фигур (например, квадрат, круг и т.д.) относительно взаимно перпендикулярных центральных осей при повороте на произвольный угол?

промежуточные положения. Напомним, что чем меньше деформации и перемещения, тем больше ж¼сткость.

Брус испытывает плоский (прямой) изгиб, если он нагружен силами, перпендикулярными его оси, и парами сил, плоскость действия которых совпадает с одной из главных плоскостей жёсткости бруса .

Все внешние силы лежат в плоскости и перпендикулярны оси .

Если силы не перпендикулярны оси бруса, то будет изгиб с растяжением или сжатием, хотя силы и будут лежать в главной плоскости ж¼сткости бруса.

Брус, испытывающий изгиб, называется балкой.

При исследовании деталей в сопротивлении материалов вместо балки рассматривают расч¼тную схему, где показывается только ость балки. Фактические опоры заменяются расч¼тными связями (расч¼тными опорами).

Рассмотрим четыре типа схематизированных опор:

1) Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.2). Применяется в конструкции моста. Особенность этого устройства в том, что поперечное сечение под опорой может свободно поворачиваться и перемещаться горизонтально, а вертикально перемещаться не может. Таким образом, из тр¼х степерей свободы шарнирно-подвижная опора имеет только две степени свободы, а реакция одна .

Рис. 6.2. Шарнирно-подвижная опора

2) Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.3). У поперечного сечения под опорой отобраны две степени свободы. Эта опора да¼т две реакции

è .

Рис. 6.3. Шарнирно-неподвижная опора

3) Подвижно-защемл¼нный конец (рис. 6.4). Балка вставляется в отверстие без зазора и натяга и может перемещаться горизонтально. Это

опорное устройство отбирает две степени свободы. В соответствии с этим, в опоре возникают вертикальная сила и пара сил (момент) .

Рис. 6.4. Поджвижно-защемл¼нный конец

4) Непожвижно-защемл¼нный конец (заделка) (рис. 6.5). У сечения под опорой отобраны три степени свободы. В соответствии с этим, в опоре возникают три реакции , , .

Рис. 6.5. Неподвижно-защемл¼нный конец

Есть и другие опоры, которые встречаются реже, например, шарнирнонеподвижная опора с податливостью (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Шарнирно-неподвижная опора с податливостью

Как от реальной детали перейти к расч¼тной схеме это подробно рассматривается в курсе "Детали машин"и в других специальных дисциплинах. Привед¼м пример: вал вращения с подшипником скольжения. Оказывается, зазора в подшипниках достаточно, чтобы в расч¼тных схемах использовать шарнирно-подвижную опору (рис. 6.7).

Балки бывают либо статически определимыми, либо статически неопределимыми. Балка на двух опорах (рис. 6.8): реакций опор 3, статика да¼т три уравнения, следовательно, это статически определимая балка. Расстояние между опорами называется прол¼том балки.

Рис. 6.7. Подшипник скольжения

Рис. 6.8. Двухопорная балка

На риунке 6.9 изображена балка неподвижно-защемл¼нным концом. Это статически определимая балка. Такую расч¼тную схему называют консолью (например, крыло самол¼та).

Рис. 6.9. Консольная балка

На риунке 6.10 изображена неразрезная балка. Она перекрывает несколько прол¼тов не прерываясь. У этой балки пять неизвестных реакций, а статика да¼т три уравнения следовательно, эта балка два раза стати- чески неопределима. В неразрезных балках степень статической неопределимости равна числу промежуточных опор. Получается так, что уравнений статики хватает только на две крайних опоры.

6.2Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и изгибающий момент это совокупнисть внутренних сил в поперечном сечении балки, с которыми одна часть балки действует на другую.

Изобразим балку (рис. 6.11), испытывающую плоский изгиб. На рисунке показаны как активные так и реактивные силы. Здесь интен-

сивность распредел¼нной нагрузки.

Рис. 6.10. Неразрезная балка

Рис. 6.11. Определение внутренних сил в балке

Будем рассматривать внуртенние силы, действующие в поперечном сечении балки. Проводим сечение − , перпендикулярное оси балки.

Вначале отбросим правую часть, изобразим левую и покажем, как она нагружена. Затем изобразим нагружение правой части.

Привед¼м силы к центру тяжести сечения будут действовать только поперечная сила и изгибающий момент . Будет ли нормальная сила

? Нет, т. к. нет внешних сил, которые дают проекцию на ось бруса.

На рисунке изображены положительные направления поперечной силы и изгибающего момента.

Как вычислить сумму внутренних сил в поперечном сечении балки? Воспользуемся уравнениями статики для рассматриваемой части балки:

Здесь приведены уравнения для левой части балки, такие же результаты получаются при рассмотрении равновесия правой части.

Поперечная сила в каком-либо поперечном сечении численно равна сумме проекций на плоскость этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

няя интенсивность распредел¼нной нагрузки.

Интнсивность считается алгебраической величиной: если сила направлена вверх, то > 0. Если вниз, то < 0.

Изобразим балку (рис. 6.15). Вырежем элемент длиной , на которой считаем = . Изобразим элемент отдельно и покажем силы, действующие на него. Слева действуют поперечная сила и изгибающий момент . В правом сечении они получают приращения + ,+ . На рисунке показаны положительные направления внутренних сил.

Рис. 6.15. Нагружение бесконечно малого элемента

Составляем уравнения равновесия представленного элемента и, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим:

производная от поперечной силы равна интенсивности распредел¼нной нагрузки.

В таком виде эти соотношения справедливы лишь в случае, когда ось направлена слева направо (это учтено на рисунках приращения

слева направо). Если ось направить справа налево, то можно повторить выводы, но можно вместо в соотношениях подставить − и получить:

Необходимо иметь в виду, что величина алгебраическая. Если осьнаправлена вниз, то во всех соотношениях нужно изменить знак передна обратный.

6.4Равнодействующая распределённой нагрузки и её положение

Изобразим участок балки, на котором действует распредел¼нная нагрузка (рис. 6.16). Покажем равнодействующую распредел¼нной нагрузки на участке от до . График изменения интенсивности = ( ) назы-

вается грузовой линией (название пришло от строителей), площадь под грузовой линией грузовой площадью.

Рис. 6.16. Равнодействующая распредел¼нной нагрузки

Момент равнодействующей · равен сумме моментов элементар-

ных сил, откуда

∫

· ( )

=

∫

( )

это формула Вариньона для определения положения центра тяжести грузовой площади, т. е. = ц. т. (грузовой площади).

Таким образом, равнодействующая распредел¼нной нагрузки равна грузовой площади и проходит через е¼ центр тяжести.

6.5Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюра это график изменения внутренних сил вдоль оси балки. Эпюры строятся, чтобы:

1)найти наиболее опасное сечение и произвести расч¼т на прочность;

2)вычислить перемещения (графо-аналитический метод).

Прежде всего необходимо знать все силы, действующие на балку: в заданной балке (рис. 6.17) это , , , .

Рис. 6.17. Построение эпюр и

1. Вычисление реакций опор с помощью уравнений статики. Нужно уравнения составить так, чтобы неизвестные разделились.

Нужно обратить внимание, что для балок с прямой осью, всегда,

= 0.

ет о том, что реакции опор найдены верно. Довольно часто вычисления ведутся приближ¼нно. В этом случае, нужно сложить отдельно положительные и отрицательные слагаемые и разницу сравнить с одной из этих сумм (лучше, с минимельной из них).

2. Определение поперечных сил. Для данной балки невозможно выразить поперечную силу с помощью одной функции, поэтому балку разбиваем на участки 1 и 2.