Вопрос 6.Формула полной вероятности:

Теорема:

Пусть событие а может произойти с одним из событий H1,H2…Hn, образующих полную группу событий называемых гипотезой.

см лекцию

7. Формула Байеса

Имеется событие А которое может произойти с одной из гипотез Н1,Н2…Нn которые образуют полную группу событий

Событие А произошло

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

8. Повторные опыты. Формула Бернулли. Теорема Муавра-ЛапласаИспытания или опыты называют независимыми, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту. Пусть, в общем случае, производитсянезависимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно виспытаниях наступит событие, если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна. Определим вначале вероятность того, что в первыхиспытаниях событиенаступит, а в остальныхиспытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

,

где .

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первыхиспытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равночислу сочетанийизэлементов по, т.е.. Таким образом, вероятность того, что событиенаступит ровно виспытаниях определяется по формуле

, (3.3)

где .

Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.

Пример.В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?Решение.По формуле Бернулли находим

Пусть в каждом из независимых испытаний событиеAможет произойти с вероятностью,(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, черезвероятность ровнопоявлений событияАвиспытаниях. кроме того, пусть– вероятность того, что число появлений событияАнаходится междуи.

Локальная теорема Лапласа.

Если n– велико, ар– отлично от 0 и 1, то

где - функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n– велико, ар– отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2)где- функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на страницеформул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а)

б) при больших верно.

Пример.Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение.По условию, откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна: