Вопрос 13.Характеристики случайной величины: центральный момент и дисперсия

• Моменты относительно центра распределения х = m называютсяцентральными моментами и обозначаются:

следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

• Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется: Х – m = (Х – С) – (m – С).

Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка:

• Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величены.

Здесь m = М ( Х ).

Свойства дисперсии:

Вопрос14.

1)Биноминальное распределение:

2)Геометрическое распределение.

3)Распределение Пуасона.

15. Законы распределения – равномерный, показательный.

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:

Функция плотности Функция распределения F(x)

вероятности f(x)

Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал ), принадлежащий,( целиком отрезку [a, b]:

  Пример. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.

Непрерывная случайная величина Х имеет Показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Кривая распределения Р(Х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

; .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

. Пример. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону

Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .

Решение. Поскольку , то

16. Нормальный закон распределения. Параметры нормального закона. Свойства. Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и(обозначают), если ее плотность вероятности имеет вид:где,.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами и(обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

1.     Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х1;х2) используется формула:

.

2.     Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожиданияне превысит величину(по абсолютной величине), равна:

.

3.     "Правило трех сигм". Если случайная величина , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры (и), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины. Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами,. Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

.