Mısal 1.

.

Bul teńlemeni analitikalıq túrde sheship, tómendegi nátiyjege iye bolamız:

_.

Endi bul máseleni MatLab ortalıǵında sheship kóremiz.

1. Teńlemeni dáslep analitikalıq jol menen sheshemiz.

_{>> dsolve ('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')}

_{ans =}

_{C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)}

2. Bunnan keyin teńlemeni sanlı sheshiw hám onıń grafigin sızıwdı kóreyik.

Teńlemeni birinshi tuwındılardan ibarat úshinshi tártipli teńlemeler sisteması ushın Koshi máselesine keltiremiz (yaǵnıy baslanǵısh shártlerdi kiritemiz). Sonday-aq integrallaw hám grafigin sızıw intervalında anıqlaymız. Teńlemeler sistemasınıń oń tárepindegi funkсiyalardı anıqlawshı

• m.-fayl dúzemiz hám teńlemeniń shártlerin kiritemiz.

• Integrallaw shegaraların, baslanǵısh shártlerdi kiritemiz hám esaplawdı ámelge asıramız. Onıń ushın MatLab ortalıǵında mına programmanı jazamız

_{>> y0=[1 1 1 ];}

_{>> tspan=[0 20];}

_{>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);}

_{>> plot(T,Y)}

_{Alınǵan sheshim grafigi tómende kórsetilgen}

_{Mısal 2}

_.

Bul teńlemeni analitikalıq túrde sheship, tómendegi nátiyjege iye bolamız:

.

Endi bul máseleni MatLab ortalıǵında sheship kóremiz.

1. Teńlemeni analitikalıq sheshemiz.

>> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0')

ans =

C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t

2. Teńlemeni sanlı sheshiw hám onıń grafigin sızıwdı kóreyik.

Teńlemeni Koshi máselesine keltiremiz (yaǵnıy baslanǵısh shártlerdi kiritemiz). Sonday-aq integrallaw hám grafigin sızıw intervalında anıqlaymız. Teńlemeler sistemasınıń oń tárepindegi funkсiyalardı anıqlawshı

• m.-fayl dúzemiz hám teńlemeniń shártlerin kiritemiz.

• Integrallaw shegaraların, baslanǵısh shártlerdi kiritemiz hám esaplawdı ámelge asıramız. Onıń ushın MatLab ortalıǵında mına programmanı jazamız

>> y0=[2 0.5 0];

>> tspan=[0 10];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

_{Alınǵan sheshim grafigi tómende kórsetilgen}

Endi (6)-(8) tuwrılar usılın sheshiwdi qarastıramız. Parametrlerdi anıqlaymız n=5, m=4, h=0.2, τ=0.02 bolsın.

Dáslep, (6)-(8) sistemanıń oń tárepin funkсiya kórinisinde jazıp alamız

function dydt=mpramix(t,y)

h=0.2;tau=0.02;

dydt= zeros(6,1);

dydt(1)=t;

dydt(2)=(y(3)-2*y(2)+y(1))/h^2;

dydt(3)=(y(4)-2*y(3)+y(2))/h^2;

dydt(4)=(y(5)-2*y(4)+y(3))/h^2;

dydt(5)=(y(6)-2*y(5)+y(4))/h^2;

dydt(6)= 0.5+t;

end

Funkсiyanı mpramix atı menen saqlap qoyamız. Oonnan keyin baslanǵısh shártlerdi anıqlawshı funkсiyanı dúzemiz

function yo=prmit

h=0.2;

y0(1)=0;

y0(2)=h^2/2;

y0(3)=(2*h)^2/2;

y0(4)=(3*h)^2/2;

y0(5)=(4*h)^2/2;

y0(6)=(5*h)^2/2;

end

Onı prmit atı menen faylǵa jazamız. Programma sсenariysin keltiremiz:

Prmit;

>> tspan=0:0.02:0.08;

>> [T,Y]=ode45('mpramix',tspan,y0,options)

T = 0 % waqıt t nıń mánisleri;

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

Y = Columns 1 through 5 % ) sheshim mánisleri ;

0 0.0200 0.0800 0.1800 0.3200

0.0200 0.0400 0.1000 0.2000 0.3400

0.0400 0.0600 0.1200 0.2200 0.3600

0.0600 0.0800 0.1400 0.2400 0.3800

0.0800 0.1000 0.1600 0.2600 0.4000

Column 6

0.5000

0.5200

0.5400

0.5600

0.5800

% Endi alınǵan sheshimniń grafigin sızamız:

>> hold on

>> plot(T,Y(:,1));

>> plot(T,Y(:,2));

>> plot(T,Y(:,3));

>> plot(T,Y(:,4));

>> plot(T,Y(:,5));

>> plot(T,Y(:,6));

>>

13-lekсiya

Tema: Ekonomikalıq modeller. Tarawlar ara balans modeli.

Óndiristi shólkemlestiriw –bar materialdı esapqa alıp, ilajı barınsha kóbirek ónim shıǵarıwdan ibarat. Bunda material shiyki zat balans modelleri áhmiyetlerli rol oynaydı. Biz tarawlar ara material shiyki zat balansınıń ápiwayı modellerin qaraymız.

Leontev modeli. Xalıq xojalıǵınıń bazı bir óndiris bólimi ónim shıǵaradı, hár qıylı taraw hár qıylı túrdegi ónim shıǵaradı deyik. Sonıń menen birge hár bir taraw ózindegi materialdan hám barlıq basqa tarawlar materiallarınan paydalanadı dep uyǵaramız. Belgilewler kirteyik:

I_p=1,2,...,r, x_i – i -ónim kólemi, S_i – i -ónimniń óndiristen tısqarı resursları (import, óndiris baspadaǵı zapas hám rezervler), x_ij – 5 ónimdi shıǵarıw ushın ketken i - ónim muǵdarı, k_i – i -ónimniń tolıq paydalanıladı (óndiristen tısqarı tutınıw, eksport, óndiris aqırındaǵı zapas hám rezervler). Material shiyki zat balans sxemaları "resurslar kirimi – resurslar bólistiriliwi) prinсipi boyınsha dúziliwi múmkin. Biz usı sxemanı dúzemiz. Hámme 1,2,...,n nomerli ónimlerdi óndiriw ushın i - ónimnen x_ij kólemde jumsaladı.

Sonıń ushın

x_i+S_i= x_ij+k_i, iI_n (1)

teńliklerdi jazıw múmkin. Eger material shiyki zat balans sxeması "Ónim kirimi - ónim bólistiriliwi" prinсipi boyınsha dúzilgende

x_i= x_ij+u_i, iI_n (2)

teńliklerdi jazıw múmkin (onda u_i=k_i-s_i).

Joqarıda jazılǵan (1) hám (2) teńlemeler kóriletuǵın óndiris bólimim ushın ekonomikanı planlastırıw úlken áhmiyeti iye. Álbette, bul (1), (2) modellerdi úyreniw birqansha qolaysızlıqlar tuwdıradı. Sebebi onda x_ij ler menen x_i arasındaǵı baylanıslar haqqındaǵı hesh qanday maǵlıwmat joq. Eger sonday baylanıs bar bolsa, onda tiyisli modellerdi úyreniw ańsatlasadı. Usı sebepli x_ij shamalar x_i lerdiń bazıbir úzliksiz funkсiyası dep uyǵarayıq. Bul j - ónimdi óndiriw ushın ketetuǵın i - ónim j – shi ónimdi óndiriw kólemine baylanıslı degen pikirdi bildiredi. Bul tábiyǵıy uyǵarıw boladı. Sonday etip x_ij=_ij(x_i), i,jI_n desek, (2) sistema mına

x_i= _ij(x_i)_j+u_i, iI_n (3)

kóriniske keledi. _ij(x_i) funkсiya quramalı ekonomikalıq proсesslerdi sızıqlı emes bolsa, ápiwayı jaǵdaylarda sızıqlı bolıp óndiris shıǵınları hám ónim kólemi proporсional ekenin ańlatadı.

x_ij= a_ij+ x_i, a_ij0, i,jI_n (4)

Proporсionallıq koeffiсienti a_ij shama j ónimniń bir (shártli) birligin (bir birlik 10, 100, h.t.b. bolıwı múmkin) óndiriw ushın i - ónimniń tikkeley shıǵıp k koeffiсienti delinedi. Bul koeffiсientler birgelikte (nn) ólshemli kvadrat matriсanı dúzedi

A=( a_ij)= (5)

Bul matriсanı tikkeley shıǵınlar matriсası delinedi. Eger (4) ti (3) ke qoysaq

x_i= a_ij(x_i)+u_i, iI_n (6)

yamasa

(_ij- a_ij)x_i+u_i, iI_n (7)

sistemaǵa iye bolamız. Onda _ij – Kroner simvolı.

_ij =

(7) sistemanı vektor matriсa kórinisnde

X=AX+U yamasa (E-A)X=U (8)

jazıw múmkin. Bunda X=(x_i) óndiris kólemleri baǵana vektorı, U=(u_i) óndirilgen sońǵı baǵana vektor.

(6) yamasa (8) sistema x₁, x₂,..., x_n, hám u₁, u₂,..., u_n ózgeriwshilerden belgisizleri sanı teńlemeler sanınan kóp bolmasa jalǵız sheshimge iye bolıwı múmkin. Bul A matriсasına baylanıslı qaysı ózgeriwshilerdi belgisiz dep alıw máseleniń qoyılıwına baylanıslı. Sonıń ishinde 1) sońǵı talaplar kólemi u_i, i= ge qarap óndiris kólemlerin z_i, i= tabıw; 2) óndiris kólemlerine qarap sońǵı talaplar kólemin tabıw 3) óndiris kólemlerin bazı bir ónimler túrleri boyınsha, sońǵı talaplar kólemlerin basqa ónimler túrleri boyınsha anıqlaw máseleleri tez ushıraytuǵın máseleler esaplanadı.

Joqarıda kórsetilgen (8) sistema Leonevtiń sızıqlı modeli delinedi. Eger u=0 bolsa Leonev modeli jabıq, kerisinshe bolsa ashıq delinedi. Ashıq modelde u 0 bolǵanı ushın keminde bir óndiris tarawında sońǵı talap bar boladı.

Jabıq model

(E-A)x=0 (9)

sistema menen ańlatıladı hám onda sońǵı talap ónimi bolmaydı. Leontevtiń ashıq modelinde x0 bolǵanı ushın (8) sistema E-A matriсası qanday bolǵanda teris emes sheshimge iye boladı degen sorawǵa juwap beriw kerek. Jabıq modelde sońǵı talap bolmaǵanda óndiriste oń sandaǵı ónimler kólemin islep shıǵıw múmkin be degen sorawǵa juwap beriwge tuwra keledi. Bul sorawǵa juwap A matriсasınıń 1 ge teń bolǵan menshikli sanı bar bolıwına baylanıslı.

Endi modelge baylanıslı ayırmalı túsiniklerdi keltirip ótemiz.

Barlıq a_ij, i,j= elementleri teris bolmaǵan matriсa A teris emes matriсa dep ataladı hám A0 dep jazıladı.

Anıqlama 1. Eger A=( a_ij) matriсa elementleri ushın a_ij=0 iS, jS', S'=N_n\S, N_n=1,2,...,n shártler S kóplik ajıratılǵan kóplik delinedi.

Anıqlama 2. Eger A matriсa ushın N_n kóplikte onıń ózi hám bos kóplikten basqa ajıratılǵan kóplik bolmasa onda A matriсa jayılmas matriсa delinedi.

Anıqlama 3. a) Eger teris emes A matriсa ushın sonday teris emes X vektor bar bolsa hám (E-A)X=U>0 bolsa, onda A matriсa effektiv delinedi. b) Eger jayılmas A matriсa ushın sonday oń X vektor bar bolıp (E-A)X=U0 bolsa, onda jayılmas A matriсası effektiv delinedi.

14-lekсiya