113

меняет в точке x0 свой знак с “–” на “+”. Следовательно, по теореме 4 функция f (x) имеет в точке x0 минимум.

Теорема 6 (необходимое условие существования экстремума функ-

ции в точке). Пусть функция f (x) имеет в точке x0 экстремум. Тогда производная f (x) либо равна нулю в точке x0 , либо не существует.

Доказательство. Если в точке x0 функция достигает экстремума, скажем

максимума, то значение функции в этой точке является наибольшим ее значением в некоторой окрестности точки x0 . Но по теореме Ферма в тех внут-

ренних точках интервала, в которых дифференцируемая функция достигает своего наибольшего значения, ее производная равна нулю. Аналогично проводится рассуждение и для точки минимума.

существует.

Теорема. Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке a; b . Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значе-

ний на этом отрезке либо в критических точках 1-го порядка, либо на концах отрезка.

Пример 6. Дана функция f (x) 3x4 4x3 1. Найти ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке 2; 1 .

Решение. Найдем критические точки. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

19.16 Выпуклость и вогнутость функции

Определение 1. Функция f (x) называется выпуклой в точке x0 , если

в окрестности этой точки график этой функции лежит по одну сторону от касательной, построенной к графику функции в точке x0 .

Определение 2. Функция f (x) называется выпуклой вверх или просто выпуклой, если ее график в окрестности точки x0 лежит ниже касательной, построенной к графику в точке x0 по отношению к оси Ox .

114

Определение 3. Функция f (x) называется выпуклой вниз или вогнутой, если ее график в окрестности точки x0 лежит выше касательной, построенной к графику в точке x0 по отношению к оси Ox .

в любой внутренней точке этого отрезка принимает положительные значения.

Определение 4. Точка x0 называется точкой перегиба функции f (x) , если она меняет в ней характер выпуклости.

Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если x0 – точка перегиба функции f (x) , то либо f (x0 ) 0 , либо f (x0 ) не существует.

19.17 Формула Тейлора

Пусть функция f (x) определена в точке x a и некоторой ее окрестности и (n 1) раз дифференцируема в этой точке. Тогда справедливо представление: