200
Вариант 7
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(7; 4) , |
B(3; 7) , |
C( 2; 5) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x y 7 0 и координаты вершины
C(3; 2) |
прямого угла. |
3. Даны |
последовательные вершины параллелограмма: A(0; 0) , B(1; 3) |
C(7; 1) . Найти угол между его диагоналями показать, что этот параллелограмм является прямоугольником.
4.Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(0; 2) вдвое ближе, чем от точки B(0; 6) . Сделать чертеж.
5.Составить уравнение эллипса, симметрично расположенного относительно осей координат, если один из его фокусов совпадает с фокусом параболы
x2 |
12 y , а расстояние одной из его точек до его фокусов равно 4 и 6 . |
|||
Сделать чертеж. |
|
|
||
6. |
Дано уравнение параболы |
x2 6x 5 y 6 0 . Сделать параллельный пе- |
||
ренос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение |
||||
параболы приняло вид x2 ay или |
y2 ax . Построить обе системы коор- |
|||
динат и параболу. |
|
|
||
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений: |
||||
|
|
3x y 2z 9 0, |
||
|
|
|
2x 3y z 0, |
|
|
|
|
||
|
|
|
2x 4 y 3z 3 0, |
|
|
|
|
||
|
а) |
используя правило Крамера; |
|
|
|
б) |
используя матричный метод; |
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
в) используя метод Гаусса. |
|
|
|
|
8. |
Даны векторы a {1; 2; 3}, b {4; 7; 2} , |
c {6; 4; 2} , d {14; 18; 6} в не- |
|||
котором базисе. Показать, что векторы a , |
b , |
c образуют базис, |
и найти ко- |
||
ординаты вектора d |
в этом базисе. |
|
|
|
|
9. |
Даны вершины |
A1 (5;5; 4) , A2 (3;8; 4) , |
A3 (3;5;10) , A4 (5;8; 2) |
пирамиды. |
|
Требуется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
|
x3 |
5 |
|
; |
б) |
lim |
2x2 72 |
; |
|
|
7x3 |
10x |
5 |
x2 7x |
6 |
||||||
|
x |
|
|
x 6 |
|
||||||
в) |
lim |
|
x2 1 1 |
|
; |
г) |
lim |
cos 2x 1 |
; |
|
|
|
x2 |
2 2 |
3x sin x |
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
||||
д) lim |
3x(ln(x 4) ln x) . |
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
4 x |
2 , |
x 0; |
|
|
||||
y cos 2x, |
0 x 4; |
|||
x, |
x |
4. |
||
|
|
|
|
|
3. Найти производные |
dy |
: |
|
|||||
|
|
2x 1 |
|
|
|
dx |
|
|
а) |
y |
; |
|
|
б) |
y e2 x (3sin 2x cos 2x) ; |
||
|
|
|
||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
||
в) |
y (1 ln sin 2x)2 ; |
г) |
y (9x2 1) arctg 3x ; |
|||||
д) |
e2 y e 3x |
y |
1. |
|
|
|||
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
203
12.Дана функция z 3x2 2 y2 xy и две точки A( 1; 3) и B( 0,98; 2,97) . Требуется:
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z 3x2 2 y2 xy в точке C( 1; 3; z( 1; 3)) .
Контрольная работа № 3
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
|
x arctg x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
а) |
|
|
|
dx ; |
б) |
x ln(x |
|
1) dx ; |
|||||
1 x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
x2 3 |
|
dx ; |
г) |
|
x |
5 |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
1 3 x |
|
5 |
|||||||
|
x4 5x2 |
|
|
|
|
||||||||
2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл:
1 4 |
dx |
|
|
|
. |
||
|
|
||
x (4x 1) |
|||
|
|
||
0 |
|
|
3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,
ограниченной кривыми y 1 2x2 и y x2 .
4.Вычислить длину дуги кривой:
2(1 cos ) , 
2 .
5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1, |
z 12 . |
|
9 |
4 |
36 |
|||||
|
|
|
|