Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

9) ∫cos5 2x sin3 2x dx

10) ∫

sin3 x

cos8 x

cos6 2x

cos8 2x

Ответ: −

+ C

Ответ:

−

+ C

7 cos7 x

5cos5 x

11) ∫tg4 xdx

12) ∫

cos6 2x

Ответ:

tg3 x

− tgx

+ x + C

Ответ:

tg5 2x

tg3

tg2x

+ C

13) ∫sin6 x cos4 x dx

14) ∫sin 3x cos 7x dx

Ответ:

sin5

Ответ:

cos 4x

−

cos10x

+ C

sin 4x

sin 8x

−

320

128

15) ∫cos 3x cos 5x cos 8x dx

Ответ:

sin10x

sin 6x

sin16x

+ x + C

3.2.7 Вычислить интегралы, содержащие иррациональные

выражения:

1) ∫

25 − x

2) ∫

(

36 − x2 )3

25arcsin

+ 5x

25 − x2

Ответ:

+ С

Ответ: −

+ С

36 36 − x2

3) ∫

+4dx

4) ∫

+16

Ответ: ln

x2 + 4 + x −

x2 + 4

+ С

Ответ: −

x2 +16

+ С

16x

5) ∫

x2 −9dx

6) ∫

x3dx

x2 − 9 − 3arccos 3 + С

x 2 −25

Ответ:

−25(x 2 +50)

+С

7) ∫

dx3

8) ∫

1+ 4

x +

161

Ответ:

2 ln(3

+1) + С

x + 2ln(1 +

x ) − 4arctg4

x + С

9) ∫

10) ∫

3 x + 2

(1−

) x

(4 x + 6 x )

Ответ:

3 ln1 +

− 3arctg6

x + С

Ответ:

−6

1 − 6 x

+12 x +2ln x −

−36ln 12 x +1 +C

11) ∫

12) ∫(x − 2)

1+ xdx

+5 x 2

Ответ:

1− x

Ответ: −

x + 5

+ С

(1− 2)

1− x

− 2 arcsin x +С

x 2dx

13) ∫

14) ∫

x + 2 +3

(5x

+ 2)

5x + 2

+ 2 −

Ответ:

5x + 2[1

(5x + 2) − 4 −

] + С x +14

x + 2 + 56ln

x + 2 − 4 + С

125

+ 2

∫

1 − x

16) ∫

15)

4 x

3 (8 x −1)5

1 + x

Ответ:

1 − x

− 3(8

− (5 + x)

1 + x

+ 6arctg

1 + x

+ С

x −1)3

− (8 x −1)4 + С

17) ∫

x(1

x )2

18) ∫

1+ x3

x ] + С

1 + x3 −1

Ответ: 3[ln 1 + 3

+1 + 3

Ответ:

3 ln

1 + x3

+1 + С

19) ∫

5 + 6

x dx

20) ∫

x 2

1 + x

Ответ:

12t5

− 20t3

+ С, где t =

5 + 6

− t5

+ t3

− t

+ С, где t = 1 +

2x4

162

21)∫3 1−2x3 dx

Ответ: − 14 3 (x−3 + 2)4 + С

3.2.8 Вычислить определенные интегралы:

1) ∫4 (1 + ex4 )dx ;

3)	9	x dx	;
3)	∫	x −1	;
	4	x −1
	3	dx
5)	∫	dx		;
5)	∫	x 1 + x 2		;
	1 3	x 1 + x 2

2π

7)∫sin 4 x cos2 x dx ;

9) ∫x sin x cos x dx ;

−π

	7	dt
2)	∫	dt	:
	−1	3t + 4
	1	2x + x 2 dx ;
4)	∫	2x + x 2 dx ;
	0
	π 4
6)	∫sin x sin 3x dx ;
	0

π cos x

8)0∫1 + sin x dx;

10) ∫e (1 + ln y)2 dy .

3.2.9 Вычислить площади фигур:

1) Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
(x 2 + y2 )2 = a 2 (x 2 − y2 ), лежащей вне окружности x					2 + y2 =	a 2
(x 2 + y2 )2 = a 2 (x 2 − y2 ), лежащей вне окружности x					2 + y2 =
					2
	2	3		π
Ответ: S = a	2	3	−	π
Ответ: S = a		2	−	6
		2		6

2)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y = 4 − x 2 и
y = x 2 − 2x .		Ответ: S = 9
3)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубическими параболами
6x = y3 −16y и 24x = y3 −16y.		Ответ: S =16
4)	Вычислить площадь фигуры,	ограниченной одной аркой циклоиды

x = a(t −sin t); y = a(1 − cos t) и осью 0X. Ответ: S = 3πa 2

5) Вычислить площадь внутри петли линии x = 3t 2 ; y = 3t − t3

163

Ответ: S =

6) Вычислить площадь внутри астроиды x = a cos3 t; y = a sin 3 t

Ответ: S =

3πa 2

7) Найти площадь, ограниченную линиями:

а) лемнискатой ρ2

= a 2 cos 2ϕ;

б) первым завитком спирали Архимеда ρ = a ϕ и полярной осью;

в) кардиоидой ρ = a(1 − cos ϕ) и окружностью ρ = a

Ответы: а) S = a

в) S = 2a

5π

; б) S =

;

−1

3.2.10 Вычислить длину дуги кривых:

полукубической параболы y2

= (x −1)3

между точками

A(2;−1) и

B(5;−8).

Ответ: l ≈ 7,63

2 y = x 2 − 2 между точками пересечения с осью 0X

Ответ: l =

6 + ln( 2 +

y = ln x между прямыми x =

3 и x =

Ответ: l =1 +

одной арки циклоиды x = a (t −sin t); y = a (1 − cos t)

Ответ: l = 8a

x = 3 t

; y = 5 t

от точки O(0;0) до точки A 1;

Ответ: l =

x =1 − t 2 ;

y =1 − t от точки O(0;0) до A(1;1)

Ответ: l =

5 5 −1

кардиоиды ρ = a (1 + cos ϕ).

Ответ: l = 8a

164

8) первого завитка спирали Архимеда ρ = a ϕ
				Ответ: πa	4π		2 +1 + a ln(2π+ 4π+1)
		ϕ			3		2
9) ρ = a cos	3		.	Ответ: l =		a π
		3			2

3.2.11 Найти центры тяжести однородных дуг кривых и фигур

1) Найти центр тяжести однородной дуги (ρ = const) полуокружности x 2 + y2 = R 2 , расположенной под осью 0X.

	0;−	2a
Ответ:
Ответ:		π
		π			циклоиды x = a(t −sin t),
2) Найти	центр		тяжести однородной арки		циклоиды x = a(t −sin t),
y = a(t −cos t).				πa;		4
			Ответ:				a
			Ответ:			3	a
						3

3)	Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной дугой
эллипса	x = a cos t , y = b sin t	и координатными осями, расположенной в
			4a	;	4b
первом квадрате.		Ответ:
первом квадрате.		Ответ:	3π		3π
			3π		3π
4)	Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной параболами
x 2 = 20y и y2 = 20x .		Ответ: (9;9)

3.2.12 Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций:

1) y = −x 2 + 5x − 6; y = 0 ось вращения 0X;

2)y = 3sin x; y = sin x; 0 ≤ x ≤ π; ось вращения 0X;

3)y = x ex ; y = 0; x =1; ось вращения 0X ;

4)y = x −1; y = 0; y =1; x = 0,5; ось вращения 0Y;

5)2x − x 2 − y = 0; 2x 2 − 4x + y = 0 ; ось вращения 0X ;

6)y = e1−x ; y = 0; x = 0; x =1; ось вращения 0X;

7)y = ln x; x = 2; y = 0; ось вращения 0Y;

165

8)	y = arccos x; y = arcsin x; x = 0; ось вращения 0Y ;
9)	x = 2 cos t;	y = 6sin t; ось вращения 0Y;
10) x = 3cos t;		y = 8sin t; ось вращения 0X .

3.2.13 Вычислить площади поверхностей вращения

1) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

0X:

а) окружности x = a cos t;		y = a sin t ;
б) дуги параболы y2 = 2x между точками пересечения с прямой x =1,5 ;
в) одной волны синусоиды y = sin x ;
		2		3		1
г) дуги параболы y = 2x − x			от точки A(0;0) до точки B		;		;
г) дуги параболы y = 2x − x			от точки A(0;0) до точки B		;	2	;
				2		2
д) дуги кривой y = e1−x , заключенной между точками A(0;e) и B(1;1);
е) дуги параболы y2 = x − 2 от точки A(4;				2) до точки			B(2;0)
вращения вокруг оси 0Y;
ж) кривой x = 2(t −sin t);	y = 2(1 − cos t)

3.2.14 Решить физические задачи

1)Воронка, имеющая форму прямого кругового конуса (с радиусом основания R и высотой H ) наполнена водой и затем опорожняется через небольшое круглое (радиусом r ) отверстие внизу. Определить время опорожнения воронки.

2)Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имеющая высоту H

ирадиус основания R , заполнена водой. Определить, за какое время через круглое отверстие (радиусом r ) в дне цистерна полностью опорожнится.

3.2.15 Исследовать на сходимость следующие интегралы

∞			∞	dx
а) ∫x e−x2 dx ;			б) ∫	dx	;
а) ∫x e−x2 dx ;			б) ∫		;
0			−∞ x 2 + 6x +11
∞	dx		∞
г) ∫	dx	;	д) ∫e−x dx ;
г) ∫	x + cos2 x	;	д) ∫e−x dx ;
1	x + cos2 x		0

в)

е)

∞	dx
1∫		;
	5x 4 + 2x 2 +1

∞

∫x ex dx .

−∞

166

Ответы: а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится; д) сходится; е) сходится

3.2.16 Используя определение или признаки сходимости, исследовать на сходимость следующие интегралы:

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫

;

x ln3

−1x 3 x

0 tgx x

x dx

г) ∫

;

д) ∫

;

е) ∫

x 2 −

(x −1)2

−2x 2 −1

Ответы: а) расходится; б) расходится; в) расходится; г) расходится; д) сходится; е) расходится.

167

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Найти неопределенные интегралы

1∫(x x +e5x )dx

2∫(sinx −cosx)2 dx

4 2 x

∫

5 x

∫

ln x +1

∫

9 +4x2

∫

1arctgx+ x2 dx

∫(arcsin x)3

1− x 2

∫

ectgx dx

sin 2 x

∫

2x +1 − 5x −1

10 x

∫

−3

x dx

∫

( x + 1) dx

1 − x

∫

x +1

x 2

∫ (3 x + 1) 2 dx

∫

x4 + x− 4 +2

∫

xdx4

− 25

∫

e3x

e x

∫

3 +

−cos

∫ (

6 x

− 3 2 )dx

∫

−

∫

xdx

1 − x

∫

3 x − 25

∫arсcos

2x dx

1−x

∫

−e

−5x

52x

∫

(1 −3x)3

∫

515 x dx

∫

10 2 x

−

53 x

∫

tgx

−cos 3x dx

∫

−x

cos

e dx

∫ x 3

(ln x − 1) 2

30 ∫

−

5π dx

31 ∫(2 x + 3x )2 dx

∫

n x − m x

33 ∫

1−

∫

1−

1+x

2 dx

25 x 5

∫

e7 x

−

∫

+sin3x dx

168

Задание №2

Найти неопределенные интегралы

1∫(5 + x) arccos xdx

2∫ex (x +1)dx

3∫(x +1) arctgxdx

4∫(3 − x) cos xdx

5∫arcsin 3xdx

6∫(x + 3) ln 2 xdx

7∫(6 x + x ) 2 dx

8	∫	3x + 5			dx
		cos	2	x

9	∫e−x x2dx

10∫(3x + 4) cos 6xdx

11∫(2x − 5) e4x dx

12∫e−x cos2xdx

13	∫	4x + 5			dx
		sin	2	x

14	∫(x2 +5x −6) ln xdx
15	∫log3 xdx
16	∫	x cos x				dx
		sin 3 x

17∫(x + ln x)2 dx

18∫x arcctgxdx

19∫lg3xdx

20∫(x + 3) 2x dx

21∫ln( x +1)dx

22∫(3x + 2) ex dx

23∫(x −5) sin xdx

24∫(lnx +e−2x )dx

25∫(x2 +3x +1)ex dx

26∫ lnx 2x dx

27∫e2x sin 3xdx

28∫ln( x 2 + x)dx

29∫x sin(5x +6)dx

30∫(x −3x )2 dx

	∫		x
31					dx
			cos 2 x
32	∫ex sin(4x −1)dx
33	∫(2x +3)sin 5xdx
	∫		x
34				dx
		sin 2 x
35	∫e3x cos2xdx
36	∫ x log 5 xdx

169

Задание №3

Найти неопределенные интегралы

∫

(x −1)

∫

x3 +1

(x +2)(x −1)

∫

x 2

+ 1

∫

x 3 dx

−1

∫

x +1

x 2

+10x + 29

∫

x 4 dx

+1)( x −1)

∫

(x2 +1)(x2 −4)

∫

x 2 −3

(x −1)2 x

∫

(2x2 +x +3)dx

∫

3x 3 − 5dx

(x +2)(x

+x +1)

− x

∫

(3x+4)dx

∫

x 2 (x 2 +1)

(x2 +x+1)(x+2)2

∫

(x3

−5x2 +5x +23)dx

∫

4x3 +25

x2 +3x +2

(x2 −1)(x −5)

∫

(x + 3)dx

∫

x3 +x2

(x 2 − x +1)(x − 3)

−6x +5

∫

(x+1)dx

∫

x(x

−1)

+x+2)(x +4x)

−

∫

(x −2)

+4x +5)

(x +2)x

∫

(2 x + 5)dx

∫

2x2 −3x +3

(x 2 + 4)( x − 3)

x3 −2x2 + x

∫

(x − 3)dx

∫

(x 2 +1)(x +1)

x 2 (x − 2)2

∫

5x3 −9x2 −22x −8

∫

3x3

+ x2 +5x +1

dx 33

∫

x 3

x3 −4x

x3 + x

x(x −1)3

∫

x4 −3x2 −3x −2

∫

(x +1)dx

∫

(x + 2)dx

(x2 +1)(x2 +9)

x 3 − 2x 2

x3 −x2 −2x

∫

x 4 dx

∫

2x2 −3x +3

∫

x 3 dx

x 4 − 16

x3 −2x2 +x

x 3 + 27

∫

x 5 dx

∫

3 − 2x

+ 16 )x

− 8

−3x +2

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20153 Мб112УМК.PDF
#
17.03.20153 Мб77УМК.PDF
#
17.03.20154 Мб101УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб69УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб30УМК11.pdf
#
17.03.20152 Мб155УМК6.pdf
#
01.04.2025310 Кб2УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588 Кб2УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430 Кб13УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219 Кб84УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164 Мб53УМП для выполнения КР Наг.маш..docx