Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

t = ψ(t)

, где t – новая переменная. Тогда

∫f [ψ (x)]ψ'(x) dx = ∫f (t) dt.

Пример 2.9 Используя подстановкуx = ϕ(t) (dx = ϕ' (t) dt ), вычислить

интегралы.

Решение.

∫

Cos 3

x dx = используяподстановку x = t 3 , = ∫

Cos 3

t 3

3 t 2 dt =

x 2

тогда

dx = 3 t 2 dt

3 t 6

= 3 ∫ Cos t t 2 dt = 3

∫Cos t dt = 3 Sin t +C = 3 Sin 3 x +C.

t 2

Этот пример можно решить, применяя внесение функции под знак

дифференциала. Так как

= 3 d (3 x ), то

Cos 3

x 2

∫

dx = 3

∫

Cos 3

x d (3

x) = 3 Sin 3

x +C.

x 2

{

− dt

∫

= используемподстановку x = t , = ∫1

t2 1

1+ x2

dx = −dt

тогда

= −∫

= −ln t +

1+ t2 +C = −ln 1 + 1

+ 1

+C =

1+ t2

= −ln

x +

x2 +1

= ln

x2 +

x +

Пример 2.10 Используя подстановку

t = ψ(x)

вычислить интегралы:

Решение.

t = 8 + x3

= 1

∫dt =

1 ln

+C = 1 ln

∫

dx =

dt = 3 x2 dx

8 + x3

1 dt = x2dx

2)	∫	exdx	= t = ex	= ∫	dt	= arcsin t	+C = arcsin ex	+ C
		9 −e2x	dt = exdx		9 − t2	3	3
				14243

табличный интеграл 4

3)	Cosxdx	=	t =Sinx	=

∫	4 +Sin2x		dt =Cosx dx

	dt		1		t		1	Sinx
∫		=		arctg		+C =		arctg 2	+C
	4 +t2		2		2		2
123

табличный интеграл3

∫(x +3)5 dx =

x +3 = t

= ∫t

5dt =

+C = (x +3)6

dx = dt

∫

= x −3=t

=∫ dt

=∫t−1 2dt = t1 2

+C =2

t +C =2

x −3 +C.Более

x −3

dx =dt

1 2

удачной можно считать подстановку x −3 = t 2 :

Получили тот же результат.

x3 +1 = t2

x2dx

∫ t dt

= 2 t +C = 2

∫

= 3x2dx = 2t dt =

x3 +1 +C

x3 +

x2dx = 2t dt

∫eSin xCos x dx =

Sin x = t

= ∫etdt = et

+ C = eSin x

+ C

Cos x dx = dt

Выбор удачной подстановки имеет большое значение и достигается практикой интегрирования. В дальнейших параграфах будут даны рекомендации для замены переменных в зависимости от типа подынтегральной функции.

2.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

(x ± a)2 = x 2 ± 2xa + a 2 - полный квадрат суммы (разности)

Пример 2.11 Выделить полные квадраты в следующих квадратных трехчленах:

Решение.

1) x 2 + 6x +5 = x 2 + 2 3x +9 −9 +5 = (x +3)2 − 4

1442443


		2					2		3		1		2		3		9		9		1	=
2) 2x			−	3x +1 = 2 x				−		x +		= 2 x		− 2		x +		−		+
2) 2x			−	3x +1 = 2 x				−	2	x +		= 2 x		− 2	4	x +	16	−	16	+	2
									2		2				4		16		16		2
												1442443

				3	2	1
=	2 x −				−
=	2 x −			4	−	16
				4		16

3)9 + 6x −3x 2 = −3[x 2 − 2x −3]= −3[(x −1)2 − 4]= 3[4 −(x −1)2 ]

1 Интеграл ∫ ax2 + bx + c находится путем выделения полного

квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. В результате получается один из двух табличных интегралов (3,12):

+ C , ∫

k − t

+ C .

∫

arctg

t 2 + k 2

t 2

− k 2

k + t

Пример 2.12 Вычислить интеграл ∫

x 2 + 4x

Решение.

∫

x 2 + 4x +8 =

(x + 2)2 +

= ∫

+ 2)2

2 + 4x +8

+ 4

= ∫

d(x + 2)

arctg

x + 2

+ C

(x + 2)2 + 4

При вычислении интеграла вместо внесения функции под знак дифференциала dx = d(x + 2) можно применить метод замены переменной:

∫

x 2 + 4x

+8 = (x +

2 + 4

= ∫

x 2 + 4x

x + 2 = t, dx = dt

2 +

arctg

+ C =

arctg

x + 2

+ C

2 Для нахождения интеграла ∫

Ax + B

следует выделить в

ax2 + bx + c

числителе дроби производную знаменателя и разложить полученный интеграл

на сумму двух интегралов: первый из них ∫

d(ax2

+ bx + c)

подстановкой

ax 2

+ bx + c

ax 2 + bx + c = t сводится к табличному

интегралу ∫

= ln

, а второй

интеграл – это интеграл, рассмотренный в пункте 1 этого же параграфа.

Пример 2.13 Вычислить интеграл ∫

x − 2

2 +5x +6

Решение.

Вычислим производную (2x 2 + 5x + 6)′ = 4x + 5 . Выделяя в числителе

производную																			квадратного																		трехчлена,												получим
x − 2 =								1	(4x +5)−					5		− 2 =							1		(4x +5)						−	13
x − 2 =							4		(4x +5)−							− 2 =							4		(4x +5)						−
							4					4											4					1			4							13											2 +5x
																																																d(2x	2 +5x	+6)
													x − 2																	(4x + 5) −																	64748
																																												1				(4x + 5dx
Следовательно∫																								dx = ∫				4										4		dx =				1		∫		(4x + 5dx			−
Следовательно∫																								dx = ∫																dx =				4		∫		2x 2 + 5x + 6			−
											2x 2 + 5x + 6																		2x 2 + 5x + 6															4				2x 2 + 5x + 6
−	13			∫					dx				=			1		ln(2x 2 +5x +													6)−		13		∫					dx							=
−				∫									=					ln(2x 2 +5x +													6)−				∫						5						=
	4					2x 2 + 5x + 6									4																		8				x 2 +				5	x + 3
	4					2x 2 + 5x + 6									4																		8				x 2 +					x + 3
выделим полный квадрат в знаменателе																																							2
выделим полный квадрат в знаменателе
x	2		+		5		+ 3 = x			2		+ 2 x							5		+		25			−	25		+ 3 =						+			5	2				23		=				5 2	+	23	2
x			+		2		+ 3 = x					+ 2 x							4		+		16			−	16		+ 3 =					x	+			4	+				16		=		x +			+	4
					2														4				16				16											4					16						4		4
							1442443
																												+			5
		1	ln(2x 2 + 5x									+ 6)−					13									d x
																										d x
=																				∫											4					=
=																				∫												23 2				=
	4														8											5						23 2
																						x +

																										4	+				4
																										4					4
																					144424443

табличный интеграл

=14 ln(2x

+5x + 6)−	13	4		x +	5
			arctg		4	+ C =
	8	23
			23

+5x + 6)− 21323 arctg 4x23+5 + C

3 Интеграл ∫		dx	находится с помощью выделения
	ax2	+ bx + c

полного квадрата из подкоренного выражения и сводится к табличным

интегралам вида ∫										dt				= ln t +									t 2 ± k 2					+ C,
	dt								t 2 ± k 2
	dt									t
∫	k 2 − t 2		= arcsin k + C.																									dx
	Пример 2.14 Вычислить интеграл ∫																											dx
	Пример 2.14 Вычислить интеграл ∫																										3 − x − 2x 2
	Решение.																										3 − x − 2x 2
	Решение.
	Выделяя					из				квадратного												трехчлена								полный						квадрат, имеем

		2							2		1					3										2			1			1			1		3
		2							2		1					3										2			1			1			1		3
3 − x − 2x			= −2 x							+		x −						= −2 x									+ 2			x +			−			−			=
3 − x − 2x			= −2 x							+	2	x −				2		= −2 x									+ 2		4	x +	16		−	16		−	2		=
											2					2													4		16			16			2
																								1442443

			1	2			25							25								1				2
			1				25							25								1
= −2 x +					−					= 2							− x			+
= −2 x +					−		16			= 2							− x			+		4
			4				16					16										4

Вычисляем интеграл																																			1
																																			1
	dx													dx											= 1						d x +
																															d x +				4
∫					= ∫																							∫							4			2	=
	3 − x − 2x 2										25								1			2					2			5		2					1	2
										2			−		x +																	− x +
																																					4
											16								4
											16								4											4
																												144424443
																												144424443
																														табличный интеграл
	1 arcsin x +					1											1				4x +1 + C
=	1 arcsin x +					4		+ C =									1				4x +1 + C
	2				5									2 arcsin								5
				4																			Ax + B
																							Ax + B
	4 Для нахождения интеграла∫																				ax2 + bx + c dx										следует выделить

в числителе производную подкоренного выражения и разложить полученный

интеграл на сумму двух интегралов: первый из них ∫ d(ax2 + bx + c) сводится

ax2 + bx + c

к табличному (1) ∫ dt	= 2 t , а второй – это интеграл, рассмотренный в пункте
t
3 этого же параграфа.
Пример 2.15 Вычислить интеграл ∫		− 4x	+3	dx
		4x 2 +	8x +9

Решение.

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе под знаком корня:

(4x 2 +8x +9)′ = 8x +8; − 4x +3 = −															1	(8x +8)+ 4 +3 = −										1	(8x +8)+ 7
(4x 2 +8x +9)′ = 8x +8; − 4x +3 = −																(8x +8)+ 4 +3 = −										2	(8x +8)+ 7
Тогда														2												2
Тогда																							d( x2 +8x+9)
										1													d( x2 +8x+9)
									−	1	(8x +8)+ 7												6447448
		− 4x +3							−	2	(8x +8)+ 7									1			(8x +8)dx					+
∫		− 4x +3				9	dx = ∫			2				9	dx = −					1		∫	(8x +8)dx					+
		4x 2 +8x +				9				4x 2 +8x +				9						2			4x 2 +8x +9
+ 7∫				dx					= − 1	2 4x 2			+8x +9 +						7	∫			dx					=
			4x 2 +8x + 9						2										2				x 2 + 2x +			9
			4x 2 +8x + 9																				x 2 + 2x +			4
																										4
выделим полный квадрат в знаменателе под знаком корня
	2			9			2					9	= (x +1)					2		5		= (x +1)		2				5	2
x		+	2x +		= x			+	2x +1		−1+								+						+
x		+	2x +		= x			+	2x +1		−1+								+						+
				4		14243						4								4								2
				4								4								4								2
= − 4x 2 +8x + 9 +									7 ∫		d(x +1)						2 =
									2	(x +1)		2		5


													+	2
														2
									144424443
										табличный интеграл
= − 4x 2 +8x + 9 +									7 ln x +1 + (x +1)2 +										5		+ C
									2										4

2.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Формула интегрирования по частям имеет вид

∫u dv = u v − ∫v du

Применение этой формулы предполагает, что в правой части интеграл ∫v du может быть вычислен легче, чем исходный интеграл. Прежде всего надо

установить какая функция принимается равной u и что относится к dv. 1 При нахождении интегралов вида

∫Pn (x)eax dx, ∫Pn (x)sin ax dx, ∫Pn (x)cos ax dx

принимаем u = Pn (x)− многочлен степени n

eax dx dv = sin ax dx

cos ax dx

Пример 2.16 Вычислить интеграл ∫x 2 sin x dx

Решение.	P (x)= x 2	−
Так как	P (x)= x 2	−	многочлен второй степени, формулу
	2

интегрирования по частям надо применить последовательно два раза.

x 2

sin x dx =

x 2

= u,

2xdx = du

sin xdx = dv, v = ∫sin xdx = −cos x

∫{u

14243

x = u, dx = du

= −x 2 cos x +

xcos xdx

∫{14243

cos xdx = dv, v = ∫cos xdx = sin x

[

∫

sin x dx

]

= −x2 cosx

+ 2x sin x + 2 cosx + C.

= −x2 cos2 x + 2 x sin x −

2 При нахождении интегралов вида

∫Pn (x)ln ax dx,

∫Pn (x)arcsin ax dx, ∫Pn (x)arccosax dx,

∫Pn (x)arctg ax dx,

∫Pn (x)arcctg ax dx.

принимаем dv = Pn (x)dx,

ln axarcsin ax

u = arccosaxarctgax

arcctg ax

Пример 2.17 Вычислить интегралы

Решение.

u = arctgx,

du =

1) ∫xarctgxdx =

1+ x 2

x 2

123

dv = xdx,

v = ∫xdx =

x 2

−

dx =

arctgx −

−

arctgx

∫

∫ 1

dx =

x 2 +1

x 2

arctgx −

x +

∫

x 2

arctgx −

arctgx + C

x 2 +

}

ln x = u,

= du

2) ∫

ln x

dx =

dv =

, v = ∫x −3dx = −

2x 2

lnx

= −

∫

= −

−

+ C

2x 2

x x 2

2x 2

4x 2

3 Интегралы, в которых двукратное применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу

∫ea x sin bx dx, ∫ea x cos bx dx

Выбор u и dv в таких интегралах произволен.

Пример 2.18 Вычислить интеграл ∫ex sin x dx

Решение.

ex sin xdx =

ex = u,

ex dx

= du

∫{123

sin xdx = dv,

v = ∫sin xdx = −cos x

= −ex cos x +

ex cos xdx =

ex = u, ex dx = du

∫{14243

dv = cos xdx, v = ∫cos xdx = sin x

= −ex cosx +[ex sin x − ∫ex

sin x dx]=

= −ex cosx + ex sinx − ∫ex sinxdx

14243

Получили

равенство

J1 = ex (sin x −cos x)− J1 . Перенесем последнее

слагаемое − J1 из правой части в левую,

2 J1 = ex (sin x − cos x)+ C,

J1 = ∫ex sin x dx = 12 ex (sin x − cos x)+ C

4 Интегралы от дробно-рациональных функций

Рассмотрим нетрадиционное применение формулы интегрирования по частям на примере.


Пример 2.19 Вычислить интеграл ∫	x 2		dx
		+ x 2 )2
(1

Решение.

∫

x 2 dx

∫

xdx

+ x 2 )2

{

(1 + x 2 )2

14243

u = x du = dx

dv =

x dx

(1 + x 2 )2

d(x 2 +1)

V = ∫

x dx

∫

+ x 2 )2

2 (1 + x 2 )2

= −

2(1+ x 2 )

= −

arctg x

+ C

2(1 + x2 )

	x	1		dx
= −	2(1 + x 2 )+		∫		=
= −	2(1 + x 2 )+	2	∫	1 + x 2	=

2.5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

2.5.1 Интегрирование простейших дробей

Рациональной

дробью

называется

дробь

вида

R(x)=

P (x)

x m + a

x m−1 +L+ a

, где Pm(x),

Qn(x) –

многочлен.

Qn (x)

b0 x n + b1x n−1 +L+ bn

Рациональная дробь называется правильной, если степень Pm(x) ниже степени Qn(x) (m<n), в противном случае (m ≥ n)дробь называется неправильной.

Дроби

x − 4

(m=1,

n=2, m<n),

(m=0,

n=1, m<n)

x 2

+ x −12

x + 6

являются правильными, дроби

(m=3, n=3, m=n),

x5 − x3

+ 2

(m=5,

3x3 −8

x 2 −

n=2, m>n) – неправильными.

Простейшими дробями I, II, III, IV типов называются правильные

рациональные дроби следующего вида:

;

x − a

II.

, где m – целое число, большее единицы;

(x − a)m

III.

Ax + B

где D =

− q < 0 ,

т.е. квадратный трехчлен

x2 + px + q

x 2 + px + q не имеет действительных корней;

Ax + B

IV. ( ) , где n – целое число, большее единицы, и

x2 + px + q n

квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет действительных корней. Дроби I и II тиров интегрируются с помощью подстановки t=x-a :

∫

dx =

t = x −a

= A∫

= A ln

+ C = A ln(x −a)+ C ;

x −a

dt = dx

∫

t = x − a

= A∫

= A ∫t −m dt = A

t −m+1

+ C =

(x −a)m

dt = dx

t m

− m +

+ C

1 − m

t m−1

Пример 2.20 Вычислить интеграл ∫

Решение.

x +8

x + 8 = t

dx =

= 3

= 3ln

+ C = 3ln

x + 8

+ C

∫

x + 8

dx = dt

∫

Пример 2.21 Вычислить интеграл ∫

(x − 6)5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20153 Мб112УМК.PDF
#
17.03.20153 Мб77УМК.PDF
#
17.03.20154 Мб101УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб69УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб30УМК11.pdf
#
17.03.20152 Мб155УМК6.pdf
#
01.04.2025310 Кб2УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588 Кб2УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430 Кб13УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219 Кб84УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164 Мб53УМП для выполнения КР Наг.маш..docx