Добавил:
swidjer
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ЛЕКЦИЯ 5
.pdf
Конспект лекции: Символический метод анализа установившихся
гармонических колебаний
1. Символическое изображение гармонических функций комплексными
числами
Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить радиус-
вектор на комплексной плоскости, который записывается в виде комплексного
числа. Этот подход называется символическим методом или методом
комплексных амплитуд.
Пусть гармоническое колебание напряжения (мгновенное значение) задано
выражением:
u(t) = U
m
· cos(ωt + ψ
u
)
Где U
m
— амплитуда колебания, ω — угловая частота, ψ
u
— начальная фаза.
Этому колебанию сопоставляется комплексная амплитуда напряжения (вектор в
начальный момент времени t = 0):
U
m
= U
m
· e
jψ
u
= U
m
· (cos ψ
u
+ j · sin ψ
u
)
В расчетах цепей также часто используют комплексное действующее значение:
U = U · e
jψ
u
= (U
m
/ √2) · e
jψ
u
Переход от комплексной амплитуды обратно к мгновенному значению (функции
времени) выполняется по правилу:
u(t) = Re [ U
m
· e
jωt
]
2. Комплексные сопротивления и проводимости пассивных элементов
При использовании комплексных чисел связь между токами и напряжениями
пассивных элементов записывается в алгебраической форме, аналогичной закону
Ома для цепей постоянного тока.
Комплексное сопротивление (импеданс): Z = R + jX, где R — активное
сопротивление, X — реактивное сопротивление цепи.
Комплексная проводимость (адмиттанс): Y = 1/Z = G + jB, где G — активная
проводимость, B — реактивная проводимость цепи.
Элемент цепи
Комплексное
сопротивление (Z)
Реактивное
сопротивление (X)
Комплексная
проводимость (Y)
Резистор (R)
Z
R
= R
X
R
= 0
Y
R
= 1/R = G
Катушка
индуктивности
(L)
Z
L
= jωL
X
L
= ωL
(индуктивное)
Y
L
= 1 / (jωL) = -j /
(ωL)
Конденсатор (C)
Z
C
= 1 / (jωC) = -j /
(ωC)
X
C
= -1 / (ωC)
(емкостное)
Y
C
= jωC
3. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме
Использование комплексных амплитуд позволяет переписать основные законы
электрических цепей в простой алгебраической форме, избавившись от систем
дифференциальных уравнений:
● Закон Ома: Связывает комплексные действующие значения напряжения и
тока через комплексное сопротивление или проводимость:
U = I · Z или I = U · Y
● Первый закон Кирхгофа (1ЗК): Алгебраическая сумма комплексных токов в
узле цепи равна нулю:
Σ I
k
= 0
● Второй закон Кирхгофа (2ЗК): Алгебраическая сумма комплексных
напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме
комплексных ЭДС источников в этом контуре:
Σ U
k
= Σ E
k
или Σ I
k
· Z
k
= Σ E
k
4. Алгоритм анализа гармонических колебаний символическим методом
1. Все заданные мгновенные значения напряжений и токов источников
(косинусоидальные функции времени) переводят в комплексные амплитуды
или комплексные действующие значения (U
m
, I
m
).
2. Для всех пассивных элементов схемы (R, L, C) рассчитывают их комплексные
сопротивления Z
R
, Z
L
, Z
C
на заданной частоте внешнего воздействия ω.
3. Схему цепи перечерчивают в комплексной форме замещения (вместо
мгновенных сигналов указывают комплексные значения, а вместо элементов
— их импедансы).
4. Используя законы Кирхгофа или производные линейные методы расчета
(метод контурных токов, метод узловых потенциалов), составляют систему
алгебраических уравнений и находят искомые комплексные токи или
напряжения.
5. При необходимости найденные комплексные величины переводят обратно во
временную форму (мгновенные значения).
5. Мощности в цепях синусоидального тока и баланс мощностей
В цепях переменного гармонического тока вводятся понятия трех видов мощностей:
● Комплексная мощность (S ): Определяется как произведение комплексного
напряжения на сопряженный комплекс тока. Измеряется в вольт-амперах (ВА):
S = U · I
*
= I
2
· Z = I
2
· (R + jX) = I
2
·R + j·I
2
·X = P + jQ
● Активная мощность (P): Действительная часть комплексной мощности.
Характеризует необратимый процесс преобразования электрической энергии в
другие виды (например, в тепловую в резисторах). Всегда положительна.
Измеряется в ваттах (Вт):
P = Re[S ] = U · I · cos φ = I
2
· R
● Реактивная мощность (Q): Мнимая часть комплексной мощности.
Характеризует интенсивность обмена энергией между реактивными
элементами (катушкой и конденсатором) и источником. Может быть как
положительной (индуктивный характер цепи, X > 0), так и отрицательной
(емкостной характер цепи, X < 0). Измеряется в варах (вар):
Q = Im[S ] = U · I · sin φ = I
2
· X
Где φ = ψ
u
- ψ
i
— угол сдвига фаз между напряжением и током.
Баланс мощностей
Для любой замкнутой электрической цепи выполняются условия баланса активной
и реактивной мощностей (следствие закона сохранения энергии):
1. Баланс активной мощности: Сумма активных мощностей, генерируемых
всеми источниками в цепи, равна сумме активных мощностей, потребляемых
резисторами:
Σ Re[U
k ист
· I
k ист
*
] = Σ I
k
2
· R
k
2. Баланс реактивной мощности: Сумма реактивных мощностей источников
равна алгебраической сумме реактивных мощностей реактивных элементов
схемы (L и C):
Σ Im[U
k ист
· I
k ист
*
] = Σ I
k
2
· X
k
Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники