1.2. Особенности процессов в нелинейных сау

Система автоматического управления называется нелинейной, если в ней содержится хотя бы один нелинейный элемент. Это приводит в общем случае или к системе нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, или к единому нелинейному дифференциальному уравнению САУ.

Рисунок 1 - Схема нелинейного элемента

На структурных схемах нелинейные элементы изображаются в виде, как это представлено на рисунке 1, где - входной, а - выходной сигналы.

Из-за наличия нелинейных элементов в нелинейных САУ проявляются свойства, которых нет в системах линейных.

Рисунок 2 - Фазовые портреты нелинейной САУ

Главное из них заключается в особой чувствительности нелинейных САУ к начальным условиям и внешним возмущениям. Проявляется это в наличии устойчивых периодических режимов - автоколебаний, а также во влиянии внешних возмущений на устойчивость нелинейной системы. Эти явления в линейных САУ отсутствуют как таковые.

Из-за особенностей нелинейных систем для их исследования было введено понятие так называемого фазового пространства. Обычно это пространство, координатами (фазами) которого являются регулируемая величина и ее производные до -го порядка, где - порядок САУ.

Чаще всего для исследования нелинейных систем используют частный случай фазового пространства - так называемую фазовую плоскость. Она представлена на рисунке 2, где в качестве оси абсцисс выступает регулируемая величина , а в качестве оси ординат используется ее производная .

Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вблизи начала координат фазового пространства, то говорят, что она устойчива (неустойчива) в “малом”. Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вдали от начала координат, то говорят, что такая система устойчива (неустойчива) в “большом”. Оба эти состояния - и “большое”, и “малое” - разделяет граничная поверхность, которая может характеризовать или границу области устойчивости по возмущениям, или автоколебательный процесс.

Поведение нелинейной САУ в фазовом пространстве отображается так называемой фазовой траекторией. Под ней понимают графическое изображение пути из любого начального состояния САУ в любое её конечное состояние. Совокупность фазовых траекторий часто называют фазовым портретом. На рисунке 2 представлен фазовый портрет устойчивой в “малом” (из - в ноль) и неустойчивой в “большом” (из - в бесконечность) нелинейной системы.

1.3. Метод фазового пространства

Основу метода фазового пространства составляют все способы, позволяющие изобразить траекторию движения САУ из одного состояния в другое в соответствующем фазовом пространстве. Особенно наглядно представляется движение САУ на фазовой плоскости, если известны аналитические формулы для некоторых видов процессов.

Пусть САУ переходит из одного состояния в другое по экспоненте

. (3)

Следовательно,

. (4)

Рисунок 3 - Фазовые траектории

На фазовой плоскости выражение представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат. При отрицательной величине параметра процесс (3) затухает со временем. Следовательно, стрелка на прямой направлена к началу координат комплексной плоскости (см. рисунок 3). При положительной величине прямая уходит в бесконечность, а стрелка направлена от начала координат комплексной плоскости. На рис.3 представлены соответствующие траектории движения системы (3). При этом .

Найдём теперь траекторию движения характеристической точки на фазовой плоскости, если процесс имеет форму синусоиды

. (5)

При этом для скорости процесса справедливо соотношение

. (6)

После возведения в квадрат выражений (5),(6) и несложных преобразований (с учётом тождества ) можно получить выражение

. (7)

Это уравнение эллипса с полуосями и . Как следствие, при представлении синусоиды (5) на фазовой плоскости будет наблюдаться движение характеристической точки по эллипсу (7). Его же часто называют циклом.

Ц иклы могут быть устойчивые и неустойчивые. Если характеристическая точка стремится удалиться от цикла (7), то его называют неустойчивым. Если эта точка стремится к циклу (7) и из “малого”, и из “большого”, то его называют устойчивым. Частные случаи устойчивых и неустойчивых циклов представлены на рисунке 4.

В случае устойчивого цикла фазовые траектории «навиваются» на эллипс, а в случае неустойчивого - уходят от него в ноль или в бесконечность.