2. Моделирования процессов в линейных нестационарных и нелинейных динамических системах с использованием подсистемы MatLab simulink

2.1. Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме

Исследованию нестационарных процессов предшествует предварительное преобразование системы дифференциальных уравнений к стандартному виду – к форме Коши.

Покажем один из способов такого преобразования. В результате такого преобразования система уравнений приводится к канонической форме, удобной для представления в виде эквивалентной структурной схемы, привычной при исследовании систем автоматического управления.

Пусть дифференциальное уравнение порядка n в операторной форме, описывающее процессы в системе, представлено в виде:

(20)

где p = d/dt – символ дифференцирования;

x(t), y(t) – вход и выход системы;

a_{i ,} b_j– коэффициенты полиномов, в общем случае функции времени; i = [1 – n]; j = [1 – m]; m  n.

Правую часть выражения (20) умножим и поделим на pⁿ (pⁿ / pⁿ) и получим:

(21)

где

(22)

или

(23)

Полученные зависимости (21) - (23) являются представлением исходного уравнения (20) в канонической форме.

Используя эти зависимости, а именно - (21) и (23) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 5.

Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Интегро - дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):

(24)

Приведем его к стандартной форме (20)

(25)

где

С оответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид:

Пример 2.

Дано операторное уравнение второго порядка:

(26)

Э тим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.

Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим

(27)

где

С оответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид, представленный на рисунке 7.

2.2. Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

2.2.1. Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

• оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а также синусоидального сигналов;

• построить фазовые траектории ошибки Δ.

; , T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

t, c	0	5	10	20	35	50
Ko	10	9	7	5	5	5
T1, c	1.0	0.8	0.6	0.5	0.5	0.5
K1,1/c	1	0. 9	0.7	0. 5	0.4	0.4

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеет вид: x=A sin (2 f t + ₀), A = 0.3, f=0.5 Гц, а скачкообразный сигнал – единичную ступеньку.

2.2.2. Методика формирования модели в системе MatLab

2.2.2.1. В командном окне MatLab (Command Window) зададим все исходные данные модели, представленные выше, как переменные во времени (из таблицы), так и постоянные:

>> t=[0 3 10 20 35 50]

>> K0=[10 9 7 5 5 5 ]

>> T1=[1 0.8 0.6 0.5 0.5 0.5]

>> K1=[1 0.9 0.7 0.5 0.4 0.4]

>> T2=2.5

2.2.2.2. Используя подсистему SIMULINK системы MatLab, “наберем” каждое звено исходной структурной схемы.

• Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₀ (t)

Для этого понадобятся следующие блоки библиотеки:

- из раздела блоков Look-Up Table (блоки задания таблиц):

- блок Look-Up Table - для задания одномерной таблицы (в виде функции одной переменной);

- из раздела блоков Math Operations (блоки элементов, определяющих математические операции):

- блок GAIN, Matrix Gain – усилитель (выполняет умножение входного сигнала на постоянный коэффициент)

;

- блок Product - блок умножения и деления (выполняет вычисление произведения текущих значений сигналов)

;

– блок Sum – сумматор (выполняет вычисление сумы текущих значений)

;

- из раздела Sources (блоки источников сигналов):

- Clock - источник времени (формирует сигнал, величина которого на каждом шаге равна текущему времени моделирования)

.

Схема имеет вид, представленный на рисунке 9.

Примечание. Для обеспечения удобства чтения схем при размещении блоков в структурной схеме использован поворот отдельных блоков относительно исходного направления. По умолчанию SIMULINK задает направление вход – выход слева направо. (На рисунке изменено направление размещения блока Clock – источник времени и блока Look-Up Table - задание одномерной таблицы).

Данная операция выполняется следующим образом.

выделяется блок (левой кнопкой мыши)  щелчком правой кнопки вызывается контекстное меню  в подменю Format активизируется опция Rotate Block (поворот блока на 90⁰),  для изменения направления размещения (поворота на 180⁰) можно использовать опцию Flip Block.

Д ля уменьшения количества одновременно отображаемых на экране блоков, представленную схему можно свести к одному отдельному блоку – к подсистеме. Проделаем данную операцию с полученной схемой для формирования коэффициента K₀.

С этой целью:

левой кнопкой мыши, не отпуская, выделяются все блоки (см. рисунок 9)  правой кнопкой вызывается контекстное меню  из этого меню выбирается опция Create Subsystem  по этой опции все блоки выделяются в одну подситем  для удобства можно изменить название подсистемы.

Результат такого объединения представлен на рисунке 10.

Примечание. Состав подсистемы можно восстановить двумя щелчками левой кнопки мыши

• Интегро-дифференцирующее звено W1 с переменной постоянной времени T₁(t)

Приведенное на схеме (см. рисунок 8) операторное выражение W₁ представим в виде структурной схемы, которая будет аналогична представленной на рисунке 6.Схема, реализующая указанное звено, примет вид, представленный на рисунке 11.

Д ля удобства группу блоков на рисунке 11, формирующих переменный коэффициент b₁ можно объединить в один и присвоить имя b₁.

Результат представлен на рисунке 12.

• Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₁ (t)

З вено “набирается” таким же образом, как и звено K₀ (t).

Результирующая схема представлена на рисунке 13.

После последующего объединения блоков схемы в один блок получим соответствующую подсистему, приведенную на рисунке 14.

2.2.2.3. Соединение всех звеньев в соответствии с исходной структурной схемой.

Помимо набранных выше звеньев с переменными коэффициентами дополним модель нелинейностью N (типа “насыщение” ), интегратором , а также сумматором .

И тоговая схема для моделирования в нашем случае может выглядеть так, как это представлено на рисунке 15.

2.2.2.4 Исследование системы.

Для исследования процессов можно использовать любой из способов представления графиков:

- либо осциллографа Scope;

- либо графопостроитель XY Graf;

- блок записи в рабочую область MatLab To Workspase исследуемых переменных на выходе нужного блока с последующим построением графиков с использованием оператора plot.

2.2.3. Пример результатов исследования

Оценим отработку системой входных сигналов:

- единичная ступенька;

- синусоидальный сигнал с заданными параметрами.

Уровень ограничения заданной нелинейности типа “насыщение” для определенности ограничим уровнем 0.5.

Р езультаты моделирования в виде переходных процессов на выходе приведены на рисунках 16 и 17.

Как следует из рассмотрения рисунка 17, амплитуда выходного сигнала уменьшается с течением времени, что вызвано переменностью коэффициента передачи K₀, K₁ во времени.

Получим фазовую траекторию ошибки Δ при задании на входе синусоидального сигнала A sin(ω*t) при A=1 и ω=1/рад/c.

Для этого, как сказано выше, необходимо иметь помимо ошибки Δ скорость dΔ/dt. Ее легко получить, если воспользоваться блоком вычисления производной Derivative из группы блоков Continuous.

На рисунке 18 приведена схема (аналогичная представленной на рисунке 15), снабженная блоком вычисления производной. А на рисунке 19 – фазовая траектория ошибки dΔ/dt=f(Δ).