Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

355 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

‡a-ïââï 12

O¡ç¨c«e--ï çacâ¨--¨x ¯oxi¤-¨x. ¦oxi¤-i §a -a¯pï¬ªo¬

Ko-âpo«ì-i §a¯¨âa--ï

1.¦oxi¤-a §a -a¯pï¬ªo¬ âa Ä³ ¢«acâ¨¢ocâi.

2.—acâ¨--i ¯oxi¤-i âa Äx³ ¢«acâ¨¢ocâi.

3.”op¬ã«a ¤«ï o¡ç¨c«e--ï ¯oxi¤-o³Ä §a -a¯pï¬ªo¬.

A 12

C1. ‡-a¨ýâ¨ ¢ci çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¯epèo£o ¯opï¤ªã -acâã¯-¨x äã-ª- æi¨ý:

1) f(x12; x2) = x14 + 2x24 ¡ 4x12x22 + ln(x1 + x22) + x1 sin(x1 + x2);

x1 > ¡x2;

+ ³

2) f(x1

; x2) = x1x2 +

+ arctg

;

x1x2 > 0;

3) f(x1

; x2) =

+ xx2 + arcsin

;

x1 > 0;

+ x22

1 + x12x22

4) f(x1; x2) = sin x1+2

tg x1+cos

(x1x2);

+k¼ j k 2 Z ;

5) f(x1

ctg (x1x2)

x1x2 62k¼f

; x2) = e

arctg x1;

j k 2 Zg:

C2. ‡-a¨ýâ¨ ¢ªa§a-i çacâ¨--i ¯oxi¤-i -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1)	@2f		;		@2f		;

		@x12		@x2@x3							(x1; x2; x3) 2 R3;
f(x1; x2; x3) = x13 sin(x2x3) + (x12 + x22)ex1+x3 ;
2)		@3f			;		@6f			;
	2					@x1	2		3
	@x @x2						@x @x		3
	1						2
			f(x1; x2; x3) = x1 ln(x2x3) + x1x2x3ex1								+x2+x3 ;
(x1; x2; x3) 2 (0; +1) £ (0; +1) £ (0; +1);
3)			@mf(0)					;
	@x1		@x2 : : : @xm

f(x1; x2; : : : ; xm) = exp(x1x2 : : : xm) + ln(1 + x1 + x2 + : : : + xm);

@m+nf

xk > ¡1:

O1. Hexa¨ý

x1x1;

x2 · j x1 j;

f(x1; x2) =

½¡x1x2;

jj x2 jj > j x1 j:

„o¢ecâ¨,éo f00

(0; 0) = f00

(0; 0):

C3. a) Hexa¨ý

f(x1; x2) =

; (x1

; x2) 2 A = R nf(0; 0)g:

x12 + x22

„«ï (x1; x2) 2 A o¡ç¨c«¨â¨

1) g(x1; x2) = x1

@f(x1; x2)

+ x2

@f(x1; x2)

;

@x1

@x2

2) x1

@g(x1; x2)

+ x2

@g(x1; x2)

@x1

@x2

¡) Hexa¨ý

¢u = u00

+ u00

@2u

@x2

‡-a¨ýâ¨ ¢f ¤«ï -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2) = sin x1 ¢ ch x2;			(x1; x2) 2 R2;
2) f(x1; x2) = ln p		;	(x1; x2) 2 R2nf(0; 0)g:
	x12 + x22

C4. „«ï äiªco¢a-¨x fm; ng ½ N §-a¨ýâ¨ çacâ¨--ã ¯oxi¤-ã @xm1 @xn2 -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2) = x1 + x2 ; x1 =6 x2; x1 ¡ x2

2) f(x1	; x2) = sin(x1 + 2x2);			(x1; x2) 2 R2;
3) f(x	; x ) = (x2		+ x2)ex1¡x2	; (x	; x )	2	R2	;
1	2	1	2	1	2	2
4) f(x1	; x2) = ln(1 + x1 + x2);			x1 + x2 > ¡1;

5) f(x1; x2) = (1 + 2x1 + x2)®; 2x1 + x2 > ¡1; ¤e ® { äiªco¢a-e ¤i¨ýc-e ç¨c«o.

C5. 1) ‡-a¨ýâ¨ ¯oxi¤-ã äã-ªæi³Ä

f(x1; x2) = x12 ¡ x25; (x1; x2) 2 R2;
1			p
				3
¢ âoçæi ~x± = (1; 1) §a -a¯pï¬ªo¬ ~a = ³		;			´:
	2		2
2) §-a¨ýâ¨ ¯oxi¤-ã äã-ªæi³Ä
f(x1; x2; x3) = x1x22x33; (x1; x2; x3) 2 R3;

¢ âoçæi ~x± = (1; 1; 1) §a -a¯pï¬ªo¬ ~a = (cos ®; cos ¯; cos °): ‡-a¨ýâ¨

¤o¢¦¨-ã £pa¤iõ -âa ¢ æi¨ýâoçæi.

„1. 1) „o¢ecâ¨, éo ¯p¨ ¤o¢i«ì-¨x fa; bg ½ R äã-ªæiï2

a o o

p ip

a c a

f(x1; x2) = ln (x1 ¡ a)2 + (x2 ¡ b)2

; (x1; x2) 2 R nf(a; b)g;

§ ¤ ¢ «ì-ïõ

¢ - ï - - î ‹ ¯ «

@2f

= 0; (x1

; x2) 2 Rnf(a; b)g:

@x12

@x22

2) „o¢ecâ¨, éo ¯p¨ ¤o¢i«ì-¨x2fa; ¾g ½ R; ¾ > 0 äã-ªæiï

f(t; x) =

exp

(x ¡ a)

;

(t; x)

(0; +

)

2¾p¼t

³¡

4¾2t

§a¤o¢o«ì-ïõ p i ¢ - ï - - î â e ¯ « o ¯ p o ¢ i ¤ - o c â i

@2f

= a2

;

(t; x) 2 (0; +1) £ R:

@x2

3) „o¢ecâ¨, éo ¯p¨ ¤o¢i«ì-¨x fa1; a2; a3g ½ R äã-ªæiï

f(x1; x2; x2) =

(xk ¡ ak)2 ¡1=2; (x1; x2; x3) 2 R3nf(a1; a2; a3)g;

¤ ¢

«ì-ïõ

¯ «

¡kP¢ - ï - - î¢ ‹

a c a

a o o

p i

@2f

= 0; (x1; x2; x3) 2 R3nf(a1; a2; a3)g:

@x2

4) „o¢ecâ¨, éo ¯p¨ ¤o¢i«ì-¨x fc1; c2; ag ½ R; a 6= 0 äã-ªæiï

f(x ; x ; x3) = r¡1(c1e¡ar + c2ear);

¤e r =

x2 + x2

+ x2

;

(x1; x2;1x3)2 2 R3nf(0; 0; 0)g

p 1

§a¤o¢o«ì-ïõ p i ¢ - ï - - î ¡ e « ì ¬ £ o « ì æ a

@2f

= a2f; (x1; x2; x3) 2 R3nf(0; 0; 0)g:

@x2

„2. „o¢ecâ¨, éo -acâã¯-i äã-ªæi³Ä po§p¨¢-i ¢ ¤eïª¨x âoçªax, a«e 53

¬aîâì o¡¨¤¢i çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¯epèo£o ¯opï¤ªã -a R2: ‡-a¨ýâ¨

âoçª¨ po§p¨¢ã äã-ªæi¨ý.

1) f(x1; x2) =

8 x1

+ x2

x12x2

;

(x1

; x2) = (0; 0);

2) f(x1; x2) =

<0;

+ exp(

(x1; x2) = (0; 0);

8 x2

2=x1)

x1 exp(

1=x12)

;

x1 = 0;

<0;

x1 = 0:

„3. Hexa¨ý

: x1x2

x12 ¡ x22

;

(x1; x2) = (0; 0);

x12 + x22

f(x1; x2) = 8

o f1200 (0;

2100

(x1; x2) = (0; 0):

(0; 0):

„o¢ecâ¨, é

0) = f

B 12

I1. ‡-a¨ýâ¨ çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¯epèo£o ¯opï¤ªã -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2; x3) = x1x2=x3 ; x1 > 0; x3 6= 0;

arcsin (x2=x3)

2) f(x1; x2; x3) = x1

; x1 > 0; x3 6= 0; j

j < 1;

x1 x3

3) f(x1; x2

; x3) = ³arctg

x2x´3

;

x1x2

> 0;

4) f(x1; x2

; x3) = ³sin

;

x2 6= 0; 0 <

< ¼;

;

f(x1; x2

; x3) = ¡tg x1¢

0 < 2 1

3 6

=x3

; x = 0;

6) f(x1; x2

; x3) = exp(x1(x1 + x2 + x3));

(x1; x2; x3) 2 R ;

7) f(x1; x2

; x3) = ln(x1 + ln x2 + ln ln x3);

xk > e; k = 1; 2; 3;

; x3) = ln

1 ¡

8) f(x1; x2

x12 + x22 + x32

; x2 + x2

+ x2

< 1;

1 + px12

+ x22 + x32

; x3) = pcos

2 p

9) f(x1; x2

x1 + sin

x2 + ctg

x3;

0 < x3

;

10) f(x	; x ; x	) =	x1x2 ¡ x3	; (x ; x	; x )	2	R3	:
			1 + ex1 + sin x2
1	2 3			1 2	3

I2.

‡-a¨ýâ¨ £pa¤iõ -â âa ¯oxi¤-ã äã-ªæi³Ä f : Rm ! R ¢ âoçæi

~x± = (x1±; x2±; : : : ; xm± ) §a -a¯pï¬ªo¬ ~a = (a1; a2; : : : ; am) :

1) f(x1; x2; : : : ; xm) =

;

+ x2 + : : : + x2

;

~x±

1; 1;

1; : : : ; (

1)m+1

= (1; 1; : : : ; 1); ~a = 1; ¡p

2) f(x1; x2; : : : ; xm) = exp(x2 + x2 + : : : + x2

);

~x± = (1; 0; 0; : : : ; 0); ~a = (0; 1; 1; : : : ; 1);

~x± = 1; ¡1; 1; : : : ; (¡1)

; ~a =p

3) f(x1; x2; : : : ; xm) = ln(1 +

x2 + x2 + : : : + x2

);

4)¡f(x1; x2; : : : ; xm) =

m+1

(1; 1; : : : ; 1);

~x± = (1; 2; 0; 0; : : : ; 0); ~a = (1; 2; :p: : ;1m);

arctg

x2 + x2 + : : : + x2

;

~x± = (1; 0; 0; : : : ; 0; 1); ~a = (

5) f(x1; x2 : : : ; xm) = sin

+ x2

+ : : : x2

;

m; m

1; : : : ; 2; 1);

6) f(x1; x2; : : : xm) =

cos2 xk;

k=1

~x±

= (0; 0; : : : ; 0); ~a = (1; 2P; : : : ; m);

7) f(x1; x2 : : : ; xm) = arcsin

x2 + x2 + : : : + x2

;

1 + x12 + x22 + : : : + xm2

~x± = (1; 1; 0; 0; : : : ; 0); ~a = (0; 1; 2; : : : ; m

1);

8) f(x1; x2; : : : ; xm) = tg

¼(x4 + x4

+ : : : + x4 )

;

2(1 + x4 + x4

+ : : : + x4 )

~x± = (0; 0; : : : 0); ~a = (1; 1; : : : ; 1);

~x± = (1; 1; : : : ; 1); ~a =

1; 1; p1;11; : : :2; (¡1)m ;

9) f(x1; x2; : : : ; xm) = ln(

+ x2

+ : : : + x2

+ ¼);

¡¡ ¡ x1x2 : : : xm ¢

10) f(x1; x2; : : : ; xm) =

;

1 + x12 + x22 + : : : + xm2

~x± = (1; 1; : : : ; 1); ~a = (1; 1; : : : ; 1):

I3.

1) Hexa¨ýäã-ªæiï g : R ! R ¬aõ ¯oxi¤-ã âpeâìo£o ¯o-

pï¤ªã,

f(x1; x2; x3) = g(x1 ¢ x2 ¢ x3); (x1; x2; x2) 2 R3:

„o¢ecâ¨, éo ¤«ï ¤eïªo³Ä äã-ªæi³Ä h : R ! R										; x	)		3	:
f000	(x	; x	; x	) = h(x	1 ¢	x	2 ¢	x );	(x ; x	; x	)	2	R	:
123	1	2	3		1 ¢		2 ¢	3	1 1	3		2

Hexa¨ýäã-ªæiï g : R ! R ¬aõ ¯oxi¤-ã ¤pã£o£o ¯opï¤ªã. ‡-a¨ýâ¨ ¢ci çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¤pã£o£o ¯opï¤ªã -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

2) f(x1; x2) = g(x1 + x2); (x1; x2) 2 R2;

3) f(x1

; x2) = g³x1

´; x1 6= 0;

f(x1

; x2; x3) =p

1 2

1 2 3

4) f(x1

; x2) = g(

x12 + x22

); (x1

; x2) 2 R2nf(0; 0)g;

;

g(x2 + x2 + x2); (x ; x ; x )

x1+x2

(x1; x2) 2 R2;

6) f(x1

; x2) =

g(t) dt;

7) f(x1

; x2) =

(x1; x2) 2 R2:

1¢ 2 g(t) dt;

Hexa¨ýäã-ªæiï g : R2 ! R ¬aõ ¢ci çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¤pã£o£o ¯o- pï¤ªã. ‡-a¨ýâ¨ çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¤pã£o£o ¯opï¤ªã -acâã¯-¨x äã-ª- æi¨ý:

8) f(x1; x2) = g(ax1; bx2); (x1; x2) 2 R2;

¤e a; b { äiªco¢a-i ¤i¨ýc-i ç¨c«a;

9) f(x1; x2; x3) = g(x1 + x2; x3); (x1; x2; x3) 2 R3:

10) Hexa¨ýäã-ªæiï g : R3 ! R ¬aõ ¢ci çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¤pã£o£o

¯opï¤ªã. „«ï ¤o¢i«ì-¨x fa; b; cg ½ R o§-aç¨¬o	3
f(x1; x2; x3) = g(ax1; bx2; cx3); (x1; x2; x3) 2 R :
‡-a¨ýâ¨ ¢ci çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¤pã£o£o ¯opï¤ªã äã-ªæi³Ä f:

I4. „o¢ecâ¨, éo -acâã¯-i äã-ªæi³Ä §a¤o¢o«ì-ïîâì ¢i¤¯o¢i¤-¨¬ pi¢- -ï--ï¬:

1) f(x1	; x2) = arctg	x1	+ x2	;	x1 6= x2;
1) f(x1	; x2) = arctg	x1	¡ x2	;	x1 6= x2;
		f0	+ f0		=	x1 ¡ x2		;
	1		2			x2	+ x2
					1		2
2) f(x1	; x2) = sin x1 + cos(sin x1 ¡ sin x2); (x1; x2) 2 R2;
					56

f10 cos x2 + f20 cos x1 = cos x1 cos x2;

3) f(x1; x2) =

;

(x1; x2) 2 R ;

arctg (x12 ¡ x22) + ¼

x¡1f0

+ x¡1f0 = x¡2f; x x

= 0;

4) ¤«ï n 2 N f(x1; x2) = x1n exp(

);

6= 0;

x1f10 + 2x2f20

= nf;

5) f(x1; x2) = x2 ln 12+ (x12 ¡ x22)2

; (x1; x2) 2 R2;

¡ 2 10

+ x1x2f20

x f

= x f;

x1 + x2

6) f(x1; x2) =

; x1 6= x2;

x1 ¡ x2

x1f10 + x2f20 = 0;

7) f(x1; x2) = cos(x1 + sin x2);

(x1; x2) 2 R2;

f10 ¢ f1200 = f20 ¢ f1100 ;

8) f(x1; x2) =

+ x1x2; x1 6= 0;

3x1

x12f10 ¡ x1x2f20 + x22 = 0;

; (x1; x2) 2 R2

9) f(x1; x2) = x1ex1+x2 ¡ x2 ln 1 + (x1 + x2)2

;

1100 ¡ 2f1200

2200

= 0;

+ f

10) f(x1; x2; x3) = x15 sin

x2 + x2

x1 6= 0;

;

x1f10 + x2f20 + x3f30 = 5f:

I5. Hexa¨ýäã-ªæi³Ä g : R ! R; h : R ! R ¬aîâì ¯oxi¤-i ¤pã£o£o ¯o- pï¤ªã. „o¢ecâ¨, éo -acâã¯-i äã-ªæi³Ä §a¤o¢o«ì-ïîâì ¢i¤¯o¢i¤-¨¬ pi¢-ï--ï¬.

1) f(x1; x2) = g(x12 + x22); (x1; x2) 2 R2;
	x2	x2f10 ¡ x1f20 = 0;
2) f(x1; x2) =	x2	+ g(x1x2); x1			6= 0;
	2
	3x1
		x12f10 ¡ x1x2f20 + x22 = 0;
3) f(x1; x2) = ex22g³x22exp³			2x12	´´;	x2 6= 0;
			x2

(x1 ¡ x2)f10 + x1x2f20 = x1x2f; 57

4) f(x; t) = g(x ¡ at) + h(x + at); (x; t) 2 R2; a { äiªco¢a-e

¤i¨ýc-e ç¨c«o;

ftt00 = a2fxx00 ;

5) f(x1; x2) = x1g(x1 + x2) + x2h(x1 + x2); (x1; x2) 2 R2;

f1100 ¡ 2f1200 + f2200 = 0;

³2x1 ´

³x1 ´;

2 1 6

6) f(x

; x ) = g

+ x

x = 0;

x1f1100 + 2x1x2f1200 + x2f2200 = 0;

-aâãpa«ì-e ç¨c«o; 1 ³x1

³x1

7) f(x1; x2) = xng

+ xn¡1h

; x

= 0; n { äiªco¢a-e

x2f00

+ 2x x f00

+ x2f

0022 = n(n

1)f;

; x2) 2 R2;

8) f(x1; x2) = g x1

+ h(x2) ; (x1

f1200 = f20

f1100 ;

9) f(x1; x2) = g³x1 ´; x1 6= 0;

x1f10 + x2f20 = 0;

10) f(x1; x2) = x1g(x22 ¡ x12);

(x1; x2) 2 R2;

x12f20 + x1x2f10 = x2f:

‡a-ïââï 13 „¨äepe-æi¨ýo¢-i äã-ªæi³Ä. „¨äepe-æia«¨

Ko-âpo«ì-i §a¯¨âa--ï

1.O§-açe--ï ¤¨äepe-æi¨ýo¢-o³Ä ¢ âoçæi äã-ªæi³Ä o¤-iõÄ³ §¬i--o³Ä.

2.O§-açe--ï ¤¨äepe-æi¨ýo¢-o³Ä ¢ âoçæi äã-ªæi³Ä m §¬i--¨x.

3.„ocâaâ-i ã¬o¢¨ ¤¨äepe-æi¨ýo¢-ocâi.

4.O§-açe--ï ¤¨äepe-æia«a ¯epèo£o âa ¢¨é¨x ¯opï¤ªi¢.

Hexa¨ýäã-ªæiï f :

„¨äepe-æia« df(~x±; ¢)

df(~x±; ~a) =

k=1

A 13

Rm ! R ¤¨äepe-æi¨ýo¢-a ¢ âoçæi ~x± 2 Rm: äã-ªæi³Ä f ¢ âoçæi ~x± õ «i-i¨ý-a äã-ªæiï

@f(~x±)ak; ~a = (a1; a2; : : : ; am) 2 Rm: @xk

O1. „oc«i¤¨â¨ ¤¨äepe-æi¨ýo¢-icâì ¢ âoçæi ~x± -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2) = p3

;

(x1; x2) 2 R2;

~x± = (0; 0);

x1x2

2) f(x1; x2) = x1ex2 + x2ex1 ;

(x1; x2) 2 R2;

~x± = (0; 0);

; ~x±

3) f(x1; x2) = tg

; x2 6= 0; j

j <

;

4) f(x1; x2) = (

³¡x12 + x22 ´

~x± = (0; 0);

exp

;

(x1; x2) = (0; 0);

1 j

+ : : : +

x ;

5) f(x1; x2; : : : ; xm) m

j 2 j

j m j

(x1; x2; : : : ; xm) 2 R

; ~x± = (0; 0; : : : ; 0):

O2. „oc«i¤¨â¨ ¤¨äepe-æi¨ýo¢-icâì ¢ âoçæi (0; 0) -acâã¯-¨x äã-ª- æi¨ý:

1) f(x1; x2) =	3				; (x1; x2) 2 R2;
			x13 + x23
2) f(x1; x2) =	8 x1			+ x2			6
	p x12x22
	<					(x1	; x2) = (0; 0);
		0;		2 ;
	:	2				(x1	; x2) = (0; 0);
						59

3) f(x1; x2) = (		x12 + x22		6
(x2	+ x2) cos	1	;	(x1; x2) = (0; 0);
1	2
0;				(x1; x2) = (0; 0):
C2. ‡-a¨ýâ¨ ¤¨äepe-æia« ¯epèo£o ¯opï¤ªã ¢ âoçæi ~x± -acâã¯-¨x
äã-ªæi¨ý, o¡ç¨c«¨â¨ ¨ýo£o §-açe--ï ¤«ï ¢eªâopa ~a :

1) f(x1; x2) = x1mx2n; (x1; x2) 2 R2; m; n { äiªco¢a-i -aâã-

pa«ì-i ç¨c«a;

~x± = (1; 2); ~a = (2; 1);

2) f(x1; x2) = x2 + ln qx12 + x22; x2 6= 0; ~x± = (1; 1); ~a =

(1; 2);

3) f¼(x1¼; x2) = sin

+ cos(x1 ¡ x2); (x1; x2) 2 R2;

x12 + x22

³2 ; 2 ´; ~a = (1p

=2;

1):

O2. ‡a¬i-iîç¨ ¯p¨picâ äã-ªæi³Ä ¤¨äepe-æia«o¬, -a¡«¨¦e-o o¡ç¨- c«¨â¨ ¤o¡ãâoª

1; 002 ¢ 2; 0032 ¢ 3; 0043:

„1. 1) „o¢ecâ¨, éo äã-ªæiï

f(x1; x2) = (	x12		+ x22				6
		x1x2			;	(x1; x2) = (0; 0);
	0p;				;	(x1; x2) = (0; 0);
	0p;					(x1; x2) = (0; 0)
-a R2 -e¯epep¢-a âa ¬aõ o¡¬e¦e-i çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¯epèo£o ¯o-
pï¤ªã, a«e -e¤¨äepe-æi¨ýo¢-a ¢ âoçæi (0; 0):
2) „o¢ecâ¨, éo äã-ªæiï
f(x1; x2) = (				x12 + x22			6
(x2 + x2) sin					1	;	(x1; x2) = (0; 0);
1	2
0;							(x1; x2) = (0; 0)

a) ¬aõ çacâ¨--i ¯oxi¤-i ¯epèo£o ¯opï¤ªã -a R2; ïªi po§p¨¢-i ¢ âoçæi (0; 0) âa -eo¡¬e¦e-i ¢ ¡ã¤ì-ïªo¬ã Ä³ oªo«i;

¡) -e¤¨äepe-æi¨ýo¢-a ¢ âoçæi (0; 0):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.08.2019256 Кб14маркетингов менеджмент ответы (полн).docx
#
19.03.201577 Кб7Мартинюк ДФ.docx
#
01.07.2025459 Кб0Марчун (шпори).doc
#
19.03.201532 Кб27Масонство в Україні.doc
#
13.09.2019895 Кб15мат методы.doc
#
19.03.2015355 Кб13Матан.pdf
#
07.03.201665 Кб44Матасова 15, 33, 51.doc
#
17.11.2019112 Кб4Математичне моделювання у структурі навчання.doc
#
26.04.2019735 Кб75материал для подготовки vikova.doc
#
01.07.2025319 Кб1материал для подготовки к тематическому оцениванию ГЕ (3 курс).doc
#
21.08.201931 Кб2Матеріали для групи.docx