VM_pidr

Отже, попит не еластичний при ціні меншій 10 грн. за виріб. Приклад 2. Встановити зв’язок між доходом підприємства та

еластичністю попиту від ціни.

Розв’язування. Дохід визначається як добуток вартості кожного виробу на кількість вироблених і проданих виробів Q

D( Q ) = p Q.

Знайдемо маржинальний дохід, врахувавши, що Q є функція від

p.

dD( Q ) = Q + p dQ = Q( 1 + p dQ ) = Q( 1 + η ).

21.3. Еластичність пропозиції відносно ціни

Поняття еластичності можна застосовувати і до інших функцій економічного змісту.

Розглянемо поняття еластичності пропозиції S в залежності від ціни товару p. Під пропозицією розуміють кількість деякого товару, який пропонується на продаж за одиницю часу. Як правило, пропозиція якого-небудь товару є зростаючою функцією ціни. Але

272

бувають випадки, коли пропозиція підвищується із зниженням ціни. Величина S є функцією від ціни товару. Тобто, S = S( p ).

Нехай p- приріст ціни, а S- відповідний приріст пропозиції.

Еластичністю пропозиції відносно ціни називається границя відношення відносного приросту пропозиції до відносного приросту ціни при умові, що приріст ціни прямує до нуля.

Еластичність пропозиції відносно ціни наближено визначає відсоток приросту пропозиції на 1% приросту ціни.

= = 2 2( 24 + 6 − 20 ) = Якщо p 2 , то E p( S ) 0,2.

22 9

Отже, при ціні p = 2 збільшення її на 1% викличе збільшення пропозиції на 0 ,2%.

Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§1. Основні поняття про функції багатьох змінних

Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях.

1.1. Означення функції багатьох змінних.

273

Функція двох змінних та її графічне зображення

Змінні x1 , x2 ,..., xn називаються незалежними між собою, як-

що кожна із них може приймати довільні значення в своїй області зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші

виконується нерівність x2 + y2 ≤ 9. У даному випадку областю ви-

випадку графіком такої функції є поверхня у трьохвимірному просторі R3

x

Приклад 1. z = x2 + y2 . Графіком цієї функції є параболоїд обертання (мал.1).

1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних

Приведемо приклади конкретних функцій багатьох змінних, які зустрічаються в економічних задачах.

Приклад 2. Нехай підприємство випускає тільки один товар і на його випуск затрачається тільки одна сировина (один ресурс). Підприємство характеризується повністю своєю виробничою функ-

274

цією y=f(x) залежність об’єму випущеного товару y від об’єму за-

траченої сировини x. Така виробнича функція називається одноре-

сурсною.

Якщо на виробництво продукції певного типу витрачається багато видів сировини (ресурсів) х1,х2,...,хnто така виробнича функція називається багаторесурсною або багатофакторною:

y = F ( x ) = F ( x1 , x2 ,..., xn ).

Найбільш відомою виробничою функцією є функція Кобба-Дугласа y = AK α Lβ , де A,α ,β - невід’ємні константи, причому α + β ≤ 1 ;

K- об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні; L- об’єм трудових ресурсів – число працівників, число людино-днів;

y- випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L.

Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера:

MV=PY

даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де

M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті;

V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня бере участь в розрахунках в середньому за рік);

Y- національний продукт або дохід (національний продукт

– це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати, одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні); P - рівень цін (середнє зважене значення цін готових товарів і послуг, що визначені відносно базового показника, прийнятого за одиницю).

Нехай P = M V - тобто ціна є функцією трьох незалежних

Y

змінних. Тоді із збільшенням грошової маси (кількості грошей) M в декілька разів (тобто гроші просто надрукують), ціни зростуть в сті-

275

льки ж разів, при умові, що інші величини V і Y залишаться незмінними. Такі дії і є найчастіше причиною інфляції.

§2. Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня

2.1. Поняття лінії та поверхні рівня

Для характеристики функцій двох змінних вводиться поняття ліній рівня.

Означення 2. Лінією рівня функції z=f(x,y) називається сукупність всіх точок на площині xOy, для яких виконується умова f ( x, y ) = C .

Лінії рівня можна отримати, перетнувши поверхню z = f ( x, y ) площинами z = C , де С = соnst .

Приклад 1. Знайти лінії рівня функціїz = x2 + y2 .

кції трьох змінних u = f ( x, y,z ) , ( f ( x, y,z ) = C )..

Приклад 2. Знайти поверхні рівня функції u = x2 + y2 +z2 .

Розв’язування. Нехай u = C . Тоді x2 + y2 + z2 = C . ( C ≥ 0 ) –

це множина сфер з центром у точці O( 0;0;0 ) і радіусом C .

2.2. Поверхні другого порядку

Найбільш вивчені поверхні в курсі аналітичної геометрії – по-

y

276

x

Мал.3

a11 ,a12 ,a22 ,...,a44 одержують різні поверхні другого порядку.

Нехай задана функція від n змінних u = f ( x1 , x2 ,..., xn ). Якщо покласти u = C , то одержимо рівняння f ( x1 ,..., xn ) = C , яке називається рівнянням гіперповерхні рівня в просторі Rn . Наприклад: u = x12 + x22 + ...+ xn2 . Якщо u = C , то рівняння x12 + x22 + ...+ xn2 = C

є рівнянням гіперсфери в Rn з центром в точці O( 0,0,...,0 ) і радіусом R = C .

§3. Границя функції двох змінних в точці. Неперервність функції двох змінних

3.1. Границя функції двох змінних

Для функції двох змінних можна ввести поняття границі та

унеперервності в точці M0 ( x0 , y0 ). Не-

δМ хай функція z = f ( x, y ) задана в околі

Очевидно, що границя функції не повинна залежати від способу наближення точки M до точки M0 .

279

lim x − y = lim x = 1.

x→0 x + y x→0 x y = 0

Тепер знайдемо границю функції, коли x = 0, y → 0 :

Очевидно, що в цьому випадку границя функції не існує, тому що при наближенні до точки O( 0;0 ) з різних напрямків отриму-

ються нерівні границі.

3.2. Неперервність функції двох змінних в точці

Означення 4. Функція z = f ( x, y ) називається неперервною

в точці M0 ( x0 ; y0 ), якщо вона задана в цій точці та деякому її околі і виконується умова

Для неперервних функцій двох змінних справедливі ті ж теореми, що і для функції однієї змінної.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язування.Знайдемо повторні границі:

Будемо наближатись до точки О(0,0) по довільній прямій y=kx, тоді:

280