Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VM_pidr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Зтого, що всі границі рівні і співпадають із значенням функції

вточці O( 0;0 ) , випливає неперервність функції в цій точці.

Аналогічно вводимо поняття границі та неперервності в точці для функції u = f ( x1 , x2 ,..., xn ).

§4. Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних

4.1. Частинні похідні першого порядку

Розглянемо функцію двох змінних z = f ( x, y ). Нехай вона задана в точці M0 ( x0 ; y0 ) і в деякому околі цієї точки. Покладемо y = y0 , а значенню x0 надамо приросту x. Тоді частинний при-

ріст по x матиме вигляд x z = f ( x0 + x , y0 ) − f ( x0 , y0 ).
Складемо тепер відношення частинного приросту	функції
x z до приросту аргументу x і знайдемо границю lim	x z . Як-
x→0	x

що така границя існує, то ми назвемо її частинною похідною першо-

го порядку функції z = f ( x, y )

по x і позначимо z′

або

∂z

∂x

) = ∂z( x0 , y0 )

= ∂f ( x0 , y0 ) = lim

z′

( x

, y

x z .

(5.3)

∂x

x→0

Аналогічно вводиться поняття частинної похідної першого

порядку по

y . У цьому випадку фіксуємо значення

x = x0 ,

а зна-

ченню

y0 ,

надаємо

приросту

Тоді

y z = f ( x0 , y0 +

y ) − f ( x0 , y0 ) і відповідно

z′ ( x

) =

∂z( x

, y

)

∂f ( x

, y

)

= lim

y z

, y

(5.4)

∂y

y→0

Із означення частинних похідних випливає таке правило ди-

ференціювання: щоб знайти частинну похідну функції z = f ( x, y )

по x , вважаємо y постійною величиною, а x - змінною. Щоб знайти частинну похідну по y, вважаємо x постійною величиною, а y - змінною.

281

4.2. Геометричний зміст частинних похідних

Частинним похідним першого порядку можна дати геометричну інтерпретацію по аналогії з геометричним змістом похідної для функції однієї змінної.

Нехай функція z = f ( x, y ) зображується в просторі деякою поверхнею. Спроектуємо точку M ( x0 , y0 , z0 ) цієї поверхні на площину x0 y і отримаємо точку M0 ( x0 , y0 ) (мал.9).

	С	F	В	z=f(x,y)
	С		M(x0,y0,z0)	z=f(x,y)
		O	y0	y
	x0			β
			M0(x0,y0 D	T
x	А
x	α
	S			Мал.9
При знаходженні		∂z покладемо y = y0 , тоді будемо мати
		∂x

z=f(x,y0). Ця функція однієї змінної має графіком криву AB, яка розміщена в площині y=y0. З геометричної точки зору час-

тинна похідна ∂∂z в точці M0 ( x0 , y0 ) дорівнює tgα (по анало- x

гії з функцією однієї змінної), оскільки дотична MS до кривої AB утворює з віссю Ox кут α.

Таким чином ∂z ( x0 , y0 ) = tgα

∂x

Перетнемо тепер поверхню z = f ( x, y ) площиною x = x0 . Отримаємо функцію z = f ( x0 , y ) , графіком якої є крива

282

CD . Тоді дотична MT в точці	M ( x0 , y0 ,z0 ) до кривої
CD утворює з віссю 0 y кут β . Тому	∂z	( x0 , y0 ) = tgβ.

	∂y

Приклад 1.. Знайти частинні похідні функції z = e x 2 + y 3 + 3 . Розв’язування. Використовуємо табличну похідну

( eu )′ = euu′.

z′	= e x 2 + y 3 + 3	( x2	+ y3 + 3 )′	= e x 2 + y 3 + 3 2 x = 2 xe x 2 + y 3 + 3 .
x			x
Аналогічно
z′	= e x 2 + y 3 + 3	( x2	+ y3 + 3 )′	= e x 2 + y 2 + 3 3 y2 = 3 y2e x 2 + y 2 + 3 .
y			y

4.3. Економічний зміст частинних похідних Відповідним чином можна надати економічного змісту час-

тинним похідним.
Розглянемо в		якості прикладу функцію Кобба-Дугласа
y = A K α Lβ
Величину l =	y	будемо називати середньою продуктивністю
	L

праці (кількість продукції, виробленої одним робітником).

Величину k = y будемо називати середньою фондовіддачею

(кількість продукції, що вироблена одним верстатом).

Величину f = K назвемо середньою фондоозброєністю

(фондоозброєність - це вартість фондів, що припадають на одиницю трудових ресурсів).

Зафіксуємо біжучий стан підприємства, тобто об’єм фондів K і число працівників L . Їм відповідає випуск продукції y = y( K , L ). Якщо найняти ще одного працівника, то приріст випу-

ску продукції

y = y( K , L + 1 ) − y( K , L ) .

А це є частковий приріст функції по

і тому

≈

Оскільки

то

≈

y′ ( K , L ) L

y′ ( K , L ).

283

Отже, частинна похідна від виробничої функції по об’єму трудових ресурсів приблизно рівна додатковій вартості продукції, що вироблена ще одним робітником. Тому похідна

y′ = βA K α Lβ − 1

називається граничною продуктивністю праці.

Якщо ж збільшити фонди ще на одиницю – купити ще один верстат, то додаткова вартість продукції, що вироблена на ньому, приблизно дорівнює частинній похідній виробничої функції по об’єму фондів. Тоді

y′		L		AK α − 1Lβ	.
K	=				називається граничною фондовіддачею

І гранична продуктивність праці, і гранична фондовіддача – це абсолютні величини. Але в економіці надзвичайно цікаво знати на скільки відсотків зміниться випуск продукції, якщо число робітників збільшиться на 1%, або якщо фонди зростуть на 1%. Тому розглядаються поняття еластичності випуску продукції по об’єму трудових ресурсів і еластичності випуску продукції по фондах:

( y ) =

y′

βAK α Lβ − 1 = β

( y ) =

y′

αAK α − 1 Lβ = α

Звідси маємо економічний зміст параметрів функції КоббаДугласа.

α- еластичність випуску по фондах;

β- еластичність випуску по праці.

Приклад 2. Нехай виробнича функція є функцією КоббаДугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5% треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник виготовляв продукцію на 2000 грн., а всього робітників 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн.грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці.

Розв’язування. Зрозуміло, що еластичність випуску продукції

по праці β =	1	, а по фондах α =	1	. Отже, функція Кобба-Дугласа

3		2

284

	1			1					1		1			5
має вид y = A K				L			,			+		=				< 1 . Підставляючи інші величини,
			2			3
			2			3					3
отримаємо:				2							3	6
отримаємо:
												1					1
2000 1000 = A ( 4 106 )															( 1000 )							, тобто
2000 1000 = A ( 4 106 )													2		( 1000 )						3	, тобто
2000 1000 = A 2 103 10,																	A =		2000 1000								= 100 .
2000 1000 = A 2 103 10,																	A =										= 100 .
																				2000 10
																	1							1
Отже,	виробнича функція y = 100 K																							L		. Середня фондовід-
Отже,	виробнича функція y = 100 K																						2	L	3	. Середня фондовід-
дача рівна	k =	y			=			2000 1000									=	1		, а середня продуктивність
дача рівна	k =				=												=			, а середня продуктивність

			K		4000000	2
l =	y	=	2000 1000	= 2000.
	L
		1000

4.4. Частинні похідні функції багатьох змінних

Ми розглянули випадок функції двох змінних. Для функції u = f ( x1 , x2 ,..., xn ) означення частинних похідних вводиться ана-

логічно і знаходиться n частинних похідних:

∂u	,	∂u	,...,	∂u	.

∂x1		∂x2		∂xn

Очевидно, що для функцій багатьох змінних можна використовувати відомі правила диференціювання, включаючи таблиці похідних, які отримані для функцій однієї змінної.

§5. Градієнт функції багатьох змінних. Похідна функції по напрямку

5.1. Градієнт функції багатьох змінних
Означення 5. Градієнтом функції		z = f ( x, y )			називається
вектор	i + z′
qradz = z′	i + z′		j		(5,5)
x	y
Аналогічно для функції u = f ( x, y,z )
qradu = u′	i + u′		j + u′	k	(5.6)
x	y		z

Відповідно вводимо градієнт функції u = f ( x1 , x2 ,..., xn )

285

	∂u		∂u
		;
qradu =	∂x1	;	∂x2
	∂x1		∂x2

∂u

;...; ∂ . (5.7) xn

→

Скорочено градієнт функції позначимо через q .

5.2. Похідна складної функції

Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної y = f ( u ), де u = u( x ), має місце формула

y′ = f ′( u ) u′ .

Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних z = f ( x, y ). Нехай задана диференційовна функція z = f ( x, y ) , яка

має неперервні частинні похідні	z′	і	z′ .	Допустимо	,	що аргументи
	x		y

x і y є в свою чергу диференційовними функціями від третьої змін-

ної t : x = ϕ( t ); y = ψ( t ). Ясно, що функція	z = f ( x, y )	є
складною функцією від змінної t : z = f ( ϕ( t ),ψ( t )) = F ( t ) .
Знайдемо похідну цієї функції по змінній t . Для цього надамо
приросту t аргументу t і знайдемо повний приріст функції		z ,
якщо аргументи x і y набувають відповідно приростів x і y :
z = f ( x + x, y + y ) − f ( x, y ) .

Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:

z = [ f ( x + x, y + y ) − f ( x, y + y )]+ [ f ( x, y + y ) − f ( x, y )].

Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости відповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:

z = f ′ ( x + θ

x, y + y ) x + f ′ ( x, y + θ

y ) y .

Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупно-

сті змінних x і y , тоді:

′ ( x + θ

x, y + y ) = f ′

( x, y ) + ε

′ ( x, y + θ

y ) = f ′ ( x, y ) + ε

Таким чином,

z = f ′ ( x, y ) x + f ′ ( x, y ) y + ε

x + ε

y .

Тепер згідно означення похідної знаходимо:

z =

∂z

x +

∂z

y + ε1

x + ε2

y .

∂x

∂y

286

Перейшовши до границі при

t → 0 і враховуючи, що

lim ε

= lim ε

2 = 0 , отримаємо формулу:

t →0

∂z

∂x dt

∂y dt

Ця похідна називається повною похідною функції z = f ( x, y )

по аргументу t . Аналогічно вводиться формула повної похідної для функції u = u( x, y,z )

	du	= ∂u	dx	+ ∂u	dy	+	∂u	∂z ,
	dt
		∂x dt		∂y dt			∂z	∂t
де x( t ) = ϕ1 ( t ), y( t ) = ϕ2 ( t ), z( t ) = ϕ3 ( t ) .
Поняття похідної		функції		z = f ( x, y ) можна узагальнити,

якщо ввести похідну функції по напрямку.

5.3. Похідна функції по напрямку

Нехай функція z = f ( x, y ) задана в деякій замкнутій області D площини x0 y .

Нехай в цій області задана точка M0 ( x0 , y0 ) . Надамо прирос-

ту аргументам	відповідно		x і	y , тоді	отримаємо			точку
				→		→	→
M ( x0 + x, y0 +	y ) . Розглянемо вектор M0 M =				x i +		y	j .
						→
Позначимо через ϕ кут, який утворює вектор						M0 M з віссю
0 x , а через l - довжину цього вектора. Тоді можна записати:
x = l cosϕ,		y = l sinϕ або dx = l cos ϕ, dy = l sinϕ.
		→	→	→
Таким чином:		M0 M = l cosϕ i		+ l sinϕ j . Значення функції
z = f ( x, y ) в точках M0 і M відповідно будуть такі:
f ( x0 , y0 ) і f ( x0 + l cos ϕ , y0 + l sinϕ ) .
Звідси випливає, що коли зафіксувати точку						M0	і напрямок
→
вектора M0 M і міняти тільки l , то функцію z = f ( x, y ) можна за-
писати у вигляді z = F ( l ), а її значення в точках M0						і M
відповідно F ( 0 ) і F ( l ). Таким чином

F ( l ) = f ( x0 + l cos ϕ, y0 + l sin ϕ ).

287

Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна функції z = F ( l ) по змінній l дорівнює

dz	= lim	F ( l ) − F ( 0 )	= lim	z .
		l − 0
dl l →0			l →0	l

Цю границю назвемо похідною функції z = f ( x, y ) по даному напрямку. Виходячи із викладеного вище, функцію z = f ( x, y )

можна вважати складною функцією по l . Її повна похідна по l дорівнює

∂z

∂x dl

∂y dl

Але dx = l cosϕ, dy = l sinϕ , тому

∂z

сosϕ +

∂z

sinϕ.

∂x

∂y

Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних u = f ( x , y,t ) . В цьому випадку напрямок задається векто-

→

і формула диференціювання по напрямку

ром n(cosα ,cosβ ,cos γ )

відповідно матиме вид

∂u cosβ +

∂u cos γ .

= ∂u cos α +

∂x

∂y

∂z

Встановимо зв’язок між похідною функції z = f ( x, y ) по на-

прямку і градієнтом цієї функції. Для цього розглянемо вектори

→

∂z

→

∂z

→

q = qradz =

i +

і a

= cosϕ i + sinϕ j .

∂x

∂y

→

Помножимо скалярно вектор q на вектор a , отримаємо:

→ →

∂z

( q

a ) =

∂z

cos ϕ +

sinϕ . Таким чином ,

∂x

∂y

→

→ →

= ( qradz a ) = ( q a ) . Згідно з означенням скалярного до-

→

∂z

cos α =

1 cos α .

бутку

∂x

∂y

Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок век-

→

α = 1 )

тора a співпадає з напрямком вектора q(cos

288

→

∂z

dl max

∂x

∂y

Висновок. Похідна функції z=f(x,y) має найбільше значення по

→

напрямку градієнта q і дорівнює модулю градієнта

Приклад 3. Обчислити градієнт функції z =

x2 + y2

в точці

M0(3,4).

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції

∂z

2 x

;

∂z

2 y

2 x2 + y2

x2 + y2

2 x2 + y2

∂x

∂y

+ y2

Обчислимо їх значення в даній точці:

∂z( M0 )

;

∂z( M0

)

∂x

∂y

→

Таким чином q

= qradz =

j ,

= 1.

§ 6. Повний приріст та повний диференціал функції

багатьох змінних

Нехай z=f(x,y) - функція двох змінних. Надамо обом змінним

прирости відповідно

x і y,

тоді функція z

отримає приріст

z = f ( x + x; y + y ) − f ( x, y ), який називається повним приро-

стом функції.

Відомо, що для функції y=φ(x), яка має похідну	y′ = ϕ′( x ) ,
приріст функції можна зобразити у вигляді
y = ϕ′( x ) x + ε x,	(5.8)

де ε→0, якщо x→0.

Тоді головна лінійна частина приросту функції називається диференціалом функції dy=φ′(x) x= φ′(x)dx.

В випадку функції двох або більше змінних наявність частинних похідних ще не гарантує того, що повний приріст функції можна представити в виді, аналогічному (5.8).

Означення 6 .Функція z=f(x,y) називається диференційовною в даній точці M ( x; y ), якщо її повний приріст в цій точці

можна представити в виді:

289

z = A x + B y + ε1			x + ε2		y,	(5.9)
де ε1 → 0,ε 2 → 0	при	x → 0, y → 0,а		A і	B не залежать від
приростів x, y.
Доданки ε1	x і ε 2	y є, очевидно, нескінченно малими вели-
чинами вищого порядку малості, ніж			x і	y.
Означення 7. Повним диференціалом функції						z = f ( x; y )

називається головна лінійна частина приросту функції відносно

x і y , тобто: dz = A

x + B y або dz = Adx + Bdy.

ТЕОРЕМА 1. Якщо функція z = f ( x; y ) диференційовна в

даній точці M ( x; y ) ,

то існують частинні похідні цієї функції і

має місце рівність

; B

тобто

z′

z′ ,

dz = z′ dx + z′ dy .

(5.10)

Доведення. Нехай функція

z = f ( x, y ) диференційовна. Тоді

має місце формула (5.9). Покладемо

y = 0 : тоді із (5.9) отримаємо

x z = A x + ε1 x звідки

x z

= A + ε1 , де ε1 → 0 , якщо

x → 0.

Оскільки A - стала величина ( x і y фіксовані), то

lim

x z = z′

= A.

x→0

Таким чином формула

Аналогічно доводиться

що

z′

(5.10) доведена.

Нехай задана функція u = f ( x1 , x2 ,..., xn ).Можна довести, по аналогії з функцією z = f ( x, y ),що в випадку диференційовності функції z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) має місце формула

du = u′	dx	1	+ u′	dx	2	+ ...+ u′ dx	n	(5.11)
x1		1	x2		2	xn	n

Навпаки, якщо допустити , що функція u = f ( x1 x2 ,..., xn ) має

частинні похідні, які є неперервними функціями по сукупності змінних в околі точки M(x1,x2,…,xn ) то справедлива формула (5.11).

§7. Частинні похідні вищих порядків

Оскільки частинні похідні	першого порядку функції
z = f ( x, y ) знову є функціями від	x і y , то від них можна ще раз

290

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201638 Кб20visha_osvita_nimechchini.docx
#
01.04.20251 Мб1Vishka_shpori.docx
#
01.05.20252 Мб1vishka.doc
#
01.05.20253 Мб0vkazivky.doc
#
19.03.2015150 Кб20VKhnpu_psykhol_2012_42(1)__17.pdf
#
19.03.20153 Мб21VM_pidr.pdf
#
01.05.20251 Мб3Voitenko_Uchboviy Posibnyk.doc
#
01.04.20251 Мб4Volkotrub.doc
#
07.08.2019138 Кб1voprosy_gayday_-_kopia.doc
#
22.12.20181 Мб4voprosy.doc
#
17.04.201934 Кб1voprosy.docx