Лаплас

Для этих производных справедлив аналог предыдущей теоремы, которые мы сформулируем в следующем частном случае: если все смешан-

ности точки (x0, y0 ) и непрерывны в этой точке, то они принимают одинаковые значения в точке (x0, y0 ).

Аналогично определяются производные более высоких порядков. В заключение приведем следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой области D

пространства n и имеющая в каждой точке области D все частные производные второго порядка, непрерывные в области D, называется дважды непрерывно дифференцируемой в области D .

9. Оператор Лапласа

Предположим, что функция u определена и дважды непрерывно дифференцируема в области D 2 . Поставим ей в соответствие функ-

цию ∆u , определенную в области D условием: ∆u = ∂2u + ∂2u . Отобра-

∂x2 ∂y2

жение ∆:u → ∆u называется оператором Лапласа.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда для оператора Лапласа используется следующая запись: ∆ = ∂∂x22 + ∂∂y22 .

Найдем выражение для оператора Лапласа в полярных координатах. Рассмотрим соотношения,

связывающие декартовы и полярные координаты на плоскости. Выполним сначала вспомогательные построения — найдем частные производные от r и ϕ по x и y . Беря частные производные по переменной x , из соотношений ( ) получаем систему уравнений:

∂∂xr cos ϕ − r sinϕ ∂∂ϕx =1,

∂r sinϕ + r cosϕ ∂ϕ = 0.

∂x ∂x

Умножая первое уравнение на cosϕ , второе — на sinϕ и складывая полу-

ченные соотношения, находим, что ∂∂xr = cosϕ . Умножая первое уравнение на −sinϕ, а второе — на cosϕ и складывая полученные соотношения, по-

соотношения ( ) по y , аналогично находим: ∂∂yr =sinϕ , ∂∂ϕy = cosr ϕ .

Теперь, пользуясь найденными соотношениями, находим:

∂∂ux = ∂∂ur ∂∂xr + ∂∂ϕu ∂∂ϕx = cosϕ ∂∂ur − sinrϕ ∂∂ϕu , ∂∂uy = ∂∂ur ∂∂yr + ∂∂ϕu ∂∂ϕy =sinϕ ∂∂ur + cosr ϕ ∂∂ϕu .

Используя последние соотношения, находим (одинаковым цветом выделены фрагменты формул до и после преобразования):

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 11. Предположим, что функция F имеет в некоторой ок-

ществует прямоугольник {(x, y) :| x − x0 |≤α, | y − y0 |≤ β}, в котором функ-

ция ∂∂Fy (x, y) нигде не обращается в ноль и уравнение F(x, y) = 0 определя-

ет y как неявную функцию от x . Последняя функция является непрерывно дифференцируемой на интервале (x0 −α, x0 +α) и ее производная мо-

надлежащее отрезку [y0 − β, y0 + β]. Обозначим эту функцию следующим образом: y = f (x). Теорема утверждает, что эта функция непрерывно дифференцируема во всех внутренних точках отрезка [x0 −α, x0 +α]. Из условия F(x0, y0 ) = 0 следует, что выполняется равенство f (x0 ) = y0 , то есть график этой функции проходит через точку (x0, y0 ).

Покажем, как выглядят эти условия в случае окружности на плоско-

сти.

Рассмотрим уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) = x2 + y2 −1. Функция F имеет непрерывные производные во всех точках плоскости. Уравнение F(x, y) = 0 задает единичную окружность. Имеет место равенство

∂F(x, y) = 2y .

∂y

Воспользуемся приведенной теоремой. Возьмем любую точку (x0, y0 ),

удовлетворяющую условию F(x0, y0 ) = 0. Условие ∂F(x0, y0 ) = 2y0 ≠ 0 да-

∂y

ет дополнительное ограничение y0 ≠ 0 , то есть точка окружности (x0, y0 ) не принадлежит оси Ox . Теорема утверждает, что существует прямоугольник с центром в точке (x0, y0 ), в котором уравнение F(x, y) = 0 определяет y как однозначную функцию от x .

Это видно на приведенном выше рисунке, где точка окружности, указанная справа может быть окружена прямоугольником (прямоугольник зеленого цвета), обладающим указанными в формулировке теоремы свойствами. Точка окружности, лежащая на оси абсцисс, то есть не удовлетворяю-

щая условию ∂F(x0, y0 ) ≠ 0 , не может быть окружена таким прямоуголь-

∂y

ником (один из вариантов — прямоугольник красного цвета). В частности, в такой прямоугольник попадают точки, абсциссы которых удовлетворяют условию x < −1. Точек с такими абсциссами на рассматриваемой окружности нет. Кроме того, для точек оси абсцисс, удовлетворяющих условию x > −1 и попадающий в прямоугольник красного цвета, имеются два зна-