11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

Предположим, что функция u = f (x, y) определена в некоторой окрестности U точки M0 (x0, y0 ) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до порядка n +1 включительно. Зададим приращения ∆x , ∆y независимых переменных x и y , обладающие следующим свойством: для любого t , −1≤t ≤1 точка (x0 +t ∆x, y0 +t ∆y) принадлежит окрестности U . Рассмотрим функцию

F(t) = f (x0 +t ∆x, y0 +t ∆y), −1≤t ≤1.

Заметим, что F(1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y), F(0) = f (x0, y0 ) . Функция F непрерывно дифференцируема на отрезке [−1,1]. Действительно, по формуле для производной сложной функции находим:

Из теоремы о непрерывности сложной функции выводим, что функция

∂fx (x0 +t ∆x, y0 +t ∆y)

∂

непрерывна на отрезке [−1,1]. Отсюда и из непрерывности функции

∂fy (x0 +t ∆x, y0 +t ∆y)

∂

на отрезке [−1,1] следует непрерывность на указанном отрезке функции F′(t). Кроме того, полагая в формуле ( ) t = 0, находим:

Далее находим:

По причинам, аналогичным указанным выше, функция F′′(t) непрерывна на отрезке [−1,1]. Кроме того, имеет место равенство

Так же доказывается, что и следующие производные функции F вплоть до производной порядка n +1 непрерывны на указанном отрезке. Применяя к функции F формулу Тейлора в точке t = 0 с остаточным членом в форме Лагранжа, получаем:

ходим первые три члена формулы Тейлора для функции двух переменных:

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0 ) +

+∂fx (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∆x + ∂fy (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∆y +

∂ ∂

Можно выписать также следующие члены указанной формулы. Ограничиваясь в формуле ( ) случаем n =1, можно записать сле-

дующий вариант формулы Тейлора для функций двух переменных:

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0 ) +

+∂fx (x0, y0 ) ∆x + ∂fy (x0, y0 ) ∆y +

∂ ∂

где 0 <θ <1.

Последняя формула имеет место и в случае функций произвольного числа переменных. Предположим, что функция f определена в некоторой

окрестности U точки x0 n и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до второго порядка включительно. Выберем такое ∆x n , что для любогоt [−1,1] x0 +t∆x U . Введем в рассмотрение координаты вектора ∆x :

∆x = (∆x1,∆x2, ,∆xn ) .

Тогда имеет место следующее равенство

для некоторого θ , 0 <θ <1.

12. Экстремумы функций нескольких переменных

Определения точки максимума, минимума и экстремума в случае функций нескольких переменных аналогичны случаю функций одной пе-

в точке a строгий локальный минимум.

Если функция f имеет в точке a локальный максимум или минимум, говорят, что эта функция имеет в точке a локальный экстремум. Аналогично понятия строгого локального максимума и минимума «объединяются» в понятие строгого локального экстремума.

Дадим сначала необходимое условие существования экстремума. Напомним следующий факт. Предположим, что функция f одной пере-

менной имеет в некоторой точке a локальный экстремум. Если эта функция дифференцируема в точке a , то f ′(a) = 0 . Этим свойством мы будем пользоваться в доказательстве следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 12. Предположим, что функция f определена в некоторой

окрестности точки a n и имеет в этой точке локальный экстремум. Если в этой точке функция имеет частные производные первого порядка, то все эти производные равны нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся случаем функции двух переменных. Предположим, что a = (a1,a2 ). Рассмотрим функцию g(x1) = f (x1,a2 ) одной переменной. Эта функция определена в некоторой окрестности точки a1 и имеет в точке a1 локальный экстремум. Кроме того, существует

g′(a1) = ∂∂fx (a1,a2 ) .

Тогда имеет место равенство g′(a1) = 0 , то есть ∂∂fx (a1,a2 ) = 0. Аналогично

рассматривается частная производная по второй переменной. Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка, в которой все частные производные первого порядка функции f обращаются в ноль, называется стационарной точкой этой функции.

ЗАМЕЧАНИЕ. Как и в случае функций одной переменной, стационарная точка может не быть точкой экстремума. Например, для функции f (x, y) = x2 − y2 точка (0,0) является стационарной, f (0,0) = 0 . Однако в любой окрестности рассматриваемой точки функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, для любого ε ≠ 0 имеем: f (ε,0) =ε2 > 0, f (0,ε) = −ε2 < 0 . Поверхность z = x2 − y2 в окрестности начала координат изображена на следующем рисунке.

Перейдем к достаточным условиям существования локального экстремума. Эти условия основываются на теории квадратичных форм. Напомним некоторые результаты этой теории.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичной формой от n переменных называется функция f (x1, x2, , xn ) следующего вида:

n n

f (x1, x2, , xn ) = ∑∑aij xi xj ,

i=1 j=1

где aij , 1≤i, j ≤ n — вещественные числа.

При i ≠ j указанная сумма имеет два подобных слагаемых, aij xi xj и a ji xj xi . Всегда предполагается, что для таких значений индексов выполня-

ется соотношение aij = a ji (что не уменьшает рассматриваемый класс функций), и квадратичная форма после приведения подобных может быть записана следующим образом:

Сильвестр

Симметричная матрица

определенной, если для любого ненулевого вектора x n имеет место не-

называемые ее главными угловыми минорами.

ТЕОРЕМА (КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА). Квадратичная форма f является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные угловые миноры ее матрицы являются положительными.

СЛЕДСТВИЕ. Квадратичная форма f является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее главные угловые миноры удовлетворяют условиям:

Рассмотрим частный случай квадратичной формы от двух переменных: f (x, y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 . Матрица этой квадратичной формы имеет

вид A B . Для анализа положительной определенности такой квадратич-

B C

ной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра. Из его получаем:

квадратичная форма f (x, y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 является положи-

тельно определенной тогда и только тогда, когда A > 0 и AC − B2 > 0 .

Эти же результаты можно получить, не обращаясь к критерию Сильвестра, и сводя анализ значений, принимаемых квадратичной формой, к анализу значений, принимаемых квадратным трехчленом. Детальный анализ такого подхода предоставляется читателю.

Аналогично получается следующий результат:

квадратичная форма f (x, y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 является отрица-

тельно определенной тогда и только тогда, когда A < 0 и AC − B2 > 0 .

Нам потребуется также следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 13. Квадратичная форма f (x, y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 явля-

ется неопределенной тогда и только тогда, когда AC − B2 < 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что A ≠ 0 . Имеет место тождество

Ax2 + 2Bxy +Cy2 = 1A ((Ax + By)2 + (AC − B2 )y2 ).

Квадратичная форма f является неопределенной в том и только том случае, когда неопределенной является квадратичная форма

g(x, y) = (Ax + By)2 + (AC − B2 )y2 ,

которую мы и будем анализировать.

Предположим, что квадратичная форма g неопределенная. Тогда имеет место неравенство AC − B2 < 0. Действительно, в противном случае,

С другой стороны, g(x,0) = A2x2 > 0 для любого x ≠ 0. Квадратичная форма g может принимать значения разных знаков и, следовательно, является неопределенной.

Мы доказали, что в предположении A ≠ 0 квадратичная форма f

является неопределенной в том и только том случае, когда AC − B2 < 0. В случае C ≠ 0 с помощью тождества

Ax2 + 2Bxy +Cy2 = C1 ((Bx +Cy)2 + (AC − B2 )x2 )

аналогично доказывается, что неопределенность квадратичной формы f

равносильна условию AC − B2 < 0.

Рассмотрим случай A =C = 0 . Квадратичная форма f принимает вид f (x, y) = 2Bxy . Неравенство AC − B2 < 0 в данном случае равносильно неравенству B2 > 0 , то есть условию B ≠ 0 . Легко видеть, что последнее условие равносильно неопределенности квадратичной формы f . Действительно, если B = 0, то функция f является тождественно нулевой, и не является неопределенной квадратичной формой. Если B ≠ 0 , то в некоторых точках функция f принимает значения разных знаков, например,

f (1,1) = 2B, f (1,−1) = −2B.

Итак, при любых предположениях относительно A и C условие AC − B2 < 0 необходимо и достаточно для неопределенности рассматриваемой квадратичной формы.

Теорема доказана.

Из приведенных выше критериев положительной и отрицательной определенности и неопределенности квадратичных форм от двух переменных немедленно вытекает следующий результат.

ТЕОРЕМА 14. Предположим, что квадратичная форма

ленной. Аналогичное утверждение справедливо для случаев отрицательно определенных и неопределенных квадратичных форм.

ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение, аналогичное сформулированной теореме, справедливо и для случая квадратичных форм от произвольного числа переменных. Перейдем теперь к достаточным условиям существования экстремума функции нескольких переменных.

Предположим, что функция f определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки a n . Рассмотрим симметричную матрицу

Соответствующую ей квадратичную форму от n переменных обозначим через g .

В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 15. Предположим, что выполняются равенства

Тогда

1)если квадратичная форма g является положительно определенной, то функция f имеет в точке a строгий локальный минимум;

2)если квадратичная форма g является отрицательно определенной, то функция f имеет в точке a строгий локальный максимум;

3)если квадратичная форма g является неопределенной, то функция f не имеет в точке a экстремума.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В доказательстве мы ограничимся случаем функции двух переменных и детально рассмотрим только пункт 1).

Предположим, что для функции f (x, y), определенной и непрерывной вместе со своими частными производными первого и второго поряд-

Выберем приращения ∆x , ∆y независимых переменных, такие что для любого t [−1,1] точка (a +t ∆x,b +t ∆y) принадлежит окрестности U . Тогда с учетом соотношений ( ), из разложения функции f по формуле Тейлора получаем:

Предположим, что квадратичная форма с матрицей

является положительно определенной. В силу непрерывности частных производных второго порядка в точке (a,b) , существует такое ε > 0, что

будет положительно определенной. Следовательно, для ∆x , ∆y , удовле-

+∂2 f (a +θ∆x,b +θ∆y) (∆y)2 > 0, ∂y2

то есть f (a + ∆x,b + ∆y) − f (a,b) > 0 . Это означает, что в точке (a,b) функция f имеет строгий локальный минимум.

Теорема доказана.

Ограничиваясь случаем функций двух переменных, переформулируем полученное утверждение в терминах производных функции f . Как и

выше, считаем, что точка (a,b) 2 является стационарной для функции f . Введем обозначения

Тогда утверждение теоремы может быть переформулировано так:

1)если A > 0 и AC − B2 > 0 , то функция f имеет в точке (a,b) строгий минимум;

2)если A < 0 и AC − B2 > 0 , то функция f имеет в точке (a,b) строгий максимум;

3)AC − B2 > 0 , то функция f не имеет в точке (a,b) экстремума.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию f (x, y) = x3 + y3 −3xy , x , y . То-

гда

Отсюда следует, что рассматриваемая функция имеет две стационарные точки M1(0,0) и M2 (1,1).

Анализируем точку (0,0). Из равенств