§5. Ряды Маклорена и Тейлора

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ожерелкова,Рубин,Джемесюк.Ряды.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

410 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

	∞	(k )	∞	(k )
	∑an xn		= ∑(an xn )
n=0			n=0

Задачи. Найти области сходимости степенных рядов:

	∞	(−1)		n+1				x	n
60 ∑		(−1)						x
60 ∑				n
	n=1			n
	∞						(3x)			n
63.	∑		(−1)n				(3x)
63.	∑		(−1)n
	n=1								n
	∞		x		n
66.	∑		x
66.	∑		n 10			n−1
	n=2		n 10

∞xn−1

69.∑n=2 n 4n ln n

	∞	(x − 2)		n
72.	∑	(x − 2)

			n
	n=1		n
	∞	x	n
75.	∑	x
75.	∑	n(n +1)
	n=2	n(n +1)
	∞
78.	∑(−4)n xn

n=1

81. ∑∞ (−1)n+1 xn

n=2 3 n3 −1

∞

61. ∑2n xn

n=1

∞

64. ∑xn2

n=1

67.∑∞ 5n (x − 2)n

n=1 n!

70. ∑∞ n +1 n xn n=1 2n +1

∞

73. ∑(n −1)3n−1 xn−1

n=1

76.∑∞ ln(nn++11) xn+1n=1

∞

79. ∑3n2 xn2

n=1

82.∑∞ (−1)n−1 xn n=1 (2n)!

∞

62.

∑(−1)n−1 n!xn

n=1

65.

∞

(−1)n (x −1)n

∑

n=1

68.

∞

n (x + 4)n

∑

(n +1)3

n=1

∞

71.

∑2n−1 x2(n−1)

n=1

∞

(−1)

n+1

2n−1

74.

∑

(2n −1) (2n −1)!

n=1

∞

(−1)

n−1

−3)

77.

∑

n=1

∞

(−1)n (x +1)n

80.

∑

n 2

n=1

∞

(−1)

2n−1

83.

∑

n +1

n=1

∞	(nx)	n
85. ∑			(Указание: при исследовании сходи-
	n!
n=1

мости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел мо-

гут быть выражены приближенно формулой Стирлинга n!≈ n n 2πn ).

(2n +1)2 3n

(2n +1)2 3n

Предположим, что функция f (x) , определенная и бесконечно

дифференцируемая в окрестности точки x = 0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

(x) = a

+ a x + a

x2 +K + a

xn +K

(5.1)

Выразим коэффициенты ряда через

f (x) . Найдем производ-

ные функции

f (x) , почленно дифференцируя ряд n раз:

′

+ 2a2 x + 3a3 x

+ 4a4 x

K + nan x

n−1

(x) = a1

′′

+ 3 2a3 x + 4

3a4 x

+ n(n

−1)an x

n−2

(x) = 2a2

′′′

n−3

(x) = 3 2a3 + 4 3 2a4 x +K + n(n −1)(n − 2)an x

…………………………………………………………….

f (n) (x) = n(n −1)(n − 2) K 3 2 1 an

Полагая в полученных равенствах

x = 0, получим

f (0) = a0 ,

(0) = a1 ,

(0) = 2 1 a2

= 2!a2 ,

(0) = 3 2 1 a3 = 3!a3 , …,

′

′′

′′′

f (n) (0) = n(n −1)(n − 2) K 3 2 1 an

= n!an

, откуда

(0)

′

(0)

= f (0) , a1 = f

(0) , a2

′′

, a3

′′′

,…, an

(n)

,…

Подставляя

значения

коэффициентов

a0 , a1, a2 , K , an , K , в

(5.1), получим ряд:

′

′′

′′′

(n)

(0)

f (0)

(0)

(5.2)

f (x) = f (0) + f (0)x +

называемый рядом Маклорена.

Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции f (x) , является расходящимся или схо-

дящимся не к функции f (x) .

Если представить ряд Маклорена в виде f (x) = Sn (x) + rn (x) , где Sn (x) – n -я частичная сумма ряда, rn (x) – n -й остаток ряда,

то можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции f (x) , необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞ остаток ряда

стремился к нулю, т.е. lim r (x) = 0 для всех значений	x из ин-
n→∞ n

тервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция f (x) разложима в ряд

Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +	f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+K +	f (n) (x0 )	(x − x0 )n +K
	2!			n!

при x0 = 0

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +	f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+K +	f (n) (x0 )	(x − x0 )n + Rn (x),
	2!			n!

где Rn (x) – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в форме Лагранжа:

Rn (x) =

f (n+1) (ξ)

(x − x0 )n+1 ,

ξ (x0 ; x) .

(n +1)!

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. y = ex

Имеем f (x) = f

′

′′

= f

(n)

(x)

= e

;

(x) = f (x)

f (0) = f

′

′′

(n)

(0) = e

, и по формуле (5.2)

(0) =

(0) =K = f

получаем

∞

ex =1 + x +

+K +

+K = ∑

(5.3)

n=0

Областью сходимости этого степенного ряда является интервал (−∞; ∞) .

2. y = sin x

Имеем:		f (x) = sin x ,				f	(x) = cos x ,				f (x) = −sin x ,
							′				′′
′′′		f	(4)	(x) = sin x , откуда
f (x) = −cos x ,		f		(x) = sin x , откуда
f (0) = 0 ,	′			′′	,	′′′		,	f	(4)	(0) = 0 и т.д.
f (0) = 0 ,	f (0) =1,			f (0) = 0	,	f	(0) = −1	,	f		(0) = 0 и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка f (2n) (0) = 0 , а

нечетного порядка f (2n−1) (0) = (−1)n−1 , n =1, 2, 3,K , и по формуле (5.2) имеем

n+1

2n+1

∞

2n+1

sin x = x −

+K + (−1)

+K = ∑(−1)

(5.4)

(2n +1)!

n=0

(2n +1)!

Область сходимости ряда (−∞; ∞) .

3. y = cos x .

Рассматривая аналогично функции y = sin x , получим:

∞

−1)

cos x =1 −

+K + (−1)

+K = ∑(

(5.5)

(2n)!

n=0

Область сходимости ряда (−∞; ∞) .

4. y = (1+ x)m , где m – любое действительное число.

Имеем f (x) = (1+ x)

, f

′

= m(1+ x)

m−1

(x)

′′

m−2

′′′

2)(1+ x)

f (x) = m(m −1)(1+ x)

(x) = m(m −1)(m −

f (n) (x) = m(m −1)(m − 2)K (m − n +1)(1 + x)m−n , …

При x = 0: f (0) =1,

f (0) = m ,

f (0) = m(m −1) ,

′

′′

′′′

…,

(n)

(0) = m(m −1)(m − 2)K (m

f (0) = m(m −1)(m − 2) ,

и по формуле (5.2) получаем

(1 + x)m =1 + mx + m(m −1) x2

+ m(m −1)(m − 2)

x3 +K

K + m(m −1)K (m − n +1)

xn +K

Найдем интервал сходимости ряда:

m−3 , …,

−n +1)

(5.6)

∞

m(m −1)K (m − n +1)

Ряд,

составленный из модулей ∑

n ,

n=0

исследуем с помощью признака Даламбера:

m(m −1)K (m −n)

n+1

m(m −1)K (m −n +1)

lim

(n +1)!

n→∞

lim

m −n

<1.

n→∞

n +1

Следовательно, интервал сходимости ряда (−1; 1) . На концах

интервала при x = ±1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m .

Ряд (5.6) называется биномиальным. Если m – целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m +1 сомножитель m − n +1 равен нулю, следовательно, n -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Выпишем некоторые разложения функции y = (1+ x)m при различных m .

m = −1:

	1	=1 − x + x2 − x3 +K + (−1)n xn +K
	1 + x	=1 − x + x2 − x3 +K + (−1)n xn +K
	1 + x

Если в это разложение подставить

1 +1x2 =1 − x2 + x4 − x6 +K + (−1)n x2n

∞

= ∑(−1)n xn , x (−1; 1) (5.7)

n=0

x2 вместо x , получим:

∞
+K = ∑(−1)n x2n	(5.8)

n=0

m =12 :

1 x −

1 3

=1 +

1 + x

2 4

2 4 6

∞

n−1 1 3 5 K (2n −3) n

=1 +

x +

∑(−1)

n=2

m = −1 2 :

−

1 x +

1 3

−

1 3 5

2 4 6

1 + x

2 4

∞

n−1 1 3 5 K (2n −1) n

=1 + ∑(−1)

n=1

y = ln(1+ x) .

, x (−1; 1)

(5.9)

(5.10)

Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (5.7) и сво й- ством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (5.7)

в интервале (0; x) , где		x		<1, с учетом того, что

∫x

= ln1+ x

= ln(1+ x) , получим

1+ x

(−1)

n+1

∞

n+1

ln(1 + x) = x

−

−K

+K = ∑(−1)

(5.11)

n +1

n=0

n +1

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть (−1; 1] .

6. y = arctgx

Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (5.8):

arctgx = ∫

= ∫(1 − x2

+ x4 − x6

+K + (−1)n x2n +K )dx =

1 + x

(5.12)

∞

2n+1

= ∑(−1)n

2n +1

n=0

Область сходимости ряда (−1; 1] .

7. y = arcsin x

Воспользуемся

разложением (5.10), подставив в него − x2

вместо x :

=1 + 1 x2

1 3

1 3 5

x6 +K =

2 4 6

1 − x2

2 4

∞

1 3 5 K (2n −1)

=1 + ∑

n=1

Интегрируя в интервале (0; x) , где x <1, получаем:

∞

1 3 5 K (2n −1)

arcsin x =

+ ∑

dx =

∫0

1 − x2

∫0

n=1

(5.13)

∞

1 3

5 K (2n −1)

x2n+1

= x + ∑

(2n +1)

n=1

Область сходимости ряда [−1; 1)

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (5.3) – (5.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (5.3) – (5.13).

Примеры

1) Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = cos2 x Решение. Воспользуемся известной тригонометрической

формулой cos2 x =

1+ cos 2x

Разложим в ряд Маклорена функцию cos 2x ,

заменяя в раз-

ложении (5.5)

x на 2x :

(−1)n

(2x)2n

cos 2x =1 −

(2x)2

(2x)4

−K

(2n)!

+K =

=1 −

x2 + 24 x4 −K +

(−1)n 22n

x2n

(2n)!

Тогда

1 +

1 cos2x =

cos2 x =

1 +

2 +

−K +

(−1) 2

1−

x2n +K

(2n)!

1−

x2 +

4 −K + (−1)n 22n−1

x2n +K

(2n)!

Это

есть

разложение

ряд

Маклорена функции

f (x) = cos2 x . Очевидно, что оно справедливо при любом x .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
24.03.2015469 Кб78268.pdf
#
24.03.20152 Мб22BANK2009дтф.DOC
#
24.03.20151 Мб20groups_lections (Множества и группы).pdf
#
24.03.20151 Мб62Teoria_ryadov_12.doc
#
24.03.2015778 Кб33Банк задач.pdf
#
24.03.2015410 Кб46Ожерелкова,Рубин,Джемесюк.Ряды.pdf
#
24.03.20152 Мб37Ряды_окончательный вариант.doc