ласть сходимости полученного ряда. 93. f (x) = ln x по степеням x −1
94 f (x) = 1x по степеням x + 2
95.f (x) = x12 по степеням x +1
96.f (x) = x −1 2 по степеням x −5
97.f (x) = e−3x по степеням x + 4
98.f (x) = cos x по степеням x − π4
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
|
|
|
|
|
|
99. 1 60 e7 |
100. ln1,1 |
101. sin 0,4 102. 3 |
130 |
103. ln 3 |
|
104. ∫1 cos 
xdx
0
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
1 2 |
|
dx |
|
1 2 |
|
105. ∫ |
|
|
|
106. ∫e−x2 dx |
|
|
|
|
|
||
1+ x |
4 |
||||
0 |
|
0 |
|||
Ответы
Взадачах 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.
Взадачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40,
и 41 – ряды расходятся.
Взадачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.
Взадачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.
Взадачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.
60. (-1;1], 61. [-1/2;1/2), 62. {0}, 63. (-1/3;1/3], 64. (-1;1), 65. [0;2], 66. [-10;10), 67. (-∞;∞), 68. (-7;-1), 69. [-4;4), 70. (-2;2),
42
71. |
− |
1 |
|
|
|
; 1 |
|
|
|
, 72. [1;3), 73. (-1/3;1/3), 74. (-∞;∞), 75. [-1;1], |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
76. [-1;1), 77. (1;5], 78. |
|
(-1/4;1/4), 79. (-1/3;1/3), 80. (-3;1], |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
81. (-1;1], |
82. |
|
(-∞;∞), |
83. |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
84. |
|
3 |
|
; |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5; |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
85. [-1/e;1/e), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
86. |
|
+∞ |
(6x)n |
, (−∞;+∞) |
|
|
87. |
+∞ |
(−1) |
n |
|
(3x) |
2n+1 |
, (−∞;+∞) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
n |
! |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
88. |
|
|
|
+∞ |
|
x |
n+1 |
|
|
|
|
[−3;3) |
|
89. |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
∑(−1)n (n +1)xn , |
(−1;1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∑0 3n+1(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
x |
2n−2 |
[−∞;+∞] |
|
|
|
|
||||||||||||||
90. ∑x3n , (−1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
91. ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
n−1 |
x |
2n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
92. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
, [−1;1] |
|
|
93. ∑(−1) |
|
(x |
|
−1) |
|
, (0;2] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (−4;0) |
|
|
95. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
94. −∑(x |
+n+2)1 |
|
|
|
∑(n +1)(x +1)n , (− 2;0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+∞ (−1)n (x −5)n |
, (2;8) |
|
|
|
|
|
12 |
+∞ (−1)n |
3n (x + 4)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
96. |
− ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97. |
e |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (− ∞;+∞) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
98. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
π |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
|
1 |
|
π |
4 |
|
(− ∞;+∞) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
− |
|
− |
|
|
x − |
|
|
+ |
|
x |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x − |
|
− , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
3! |
4 |
|
4! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
99. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
≈ 0,8899 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,0953 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,3894 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
102. |
≈ 5,0658 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103. |
≈1,0986 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104. |
≈ 0,7635 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
105. |
≈ 0,5031, δ = 0,00008 |
|
|
106. ≈ 0,24479, δ = 0,000005 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§1. Основные понятия |
|
Оглавление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов........................ |
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов ..................... |
|
|
|
|
|
21 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§4. Степенные ряды......................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|||||||||||||||||||||||||
§5. Ряды Маклорена и Тейлора |
...................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|||||||||||||||||||||||||||||
§6. Применение рядов в приближенных вычислениях |
|
|
|
|
|
38 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
||||||||||
43
Подписано в печать 2012 г. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2. Тираж 600. Заказ №
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова Издательско-полиграфический центр 117571, Москва, просп. Вернадского, 86.
44