Билет №11.

Задача №1. Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной окружности относительно одной из сторон треугольника. Найти углы этого треугольника.

Дано:, окр.(О;R) – описанная, окр.(J;r) – вписанная.

Решение.

Т.к. цетры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно стороны треугольника, то центр описанной окружности лежит вне - тупоугольный

Заметим: J– центр вписанной окружности и О – центр описанной окружности лежат на диаметре. Т.к. диаметр перпендикулярен хорде, то- медианаи, значит,- равнобедренный.

Дополнительные построения: - биссектрисыи

.

Дополнительное построение: .

=(, т.к.JиO– симметричны относительно М,- общая). Значит.

AK– диаметр, т.к. проходит через центр окружности,

Ответ:.

Задача №2. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС – точка К такая, что ВК=. В каком отношении отрезок ВМ делит отрезок АК?

Дано:,, АМ=АС,, ВК=.

Решение.

1) Проведем через вершину А прямую, параллельную BC.

Пусть

2) (т.к.)

3) (по двум углам), тогда

Ответ:

Билет №12.

Задача №1. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, его сторона равна 20 см. Найти: а) длины диагоналей; б) радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:ABCD– ромб,,

Решение.

А) ABCD– ромб, значити

, т.е.

см

см

см, тогдасм

Б) ABCD– описанный

(см²)

(см)

Ответ:;см

Задача №2. Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

Дано:ABCD– равнобедренная трапеция,

см, см,MN– средняя линия,

Решение.

Т.к. MN– средняя линия, то

Т.к. ABCD– равнобедренная, то(см)

: по теореме Пифагора:(см)

(см²)

Ответ:(см²)

Билет №13.

Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС АС=b, AB=BC=a, AN и СМ – биссектрисы углов А и С. Найти длину отрезка MN.

Дано:,,,ANиMC– биссектрисыи

Решение.

1) Пусть , тогда

CM– биссектриса, откуда

2) С другой стороны (- общий,)

Ответ:

Задача №2. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 см и 12 см точкой касания этого треугольника со вписанной в него окружностью. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?

Дано:- прямоугольный,BK– биссектриса, окр.(О;r),

E,K,M– точки касания,см,см

Решение.

Пусть , тогда,,

По теореме Пифагора:

- не удовлетворяет условию

Итак, см,см.

По свойству биссектрисы угла:

Ответ:

Билет №14.

Задача №1. Постройте отрезок длины, гдеa >b, если a и b – длины двух отрезков.

Дано: отрезкиaиb

Построение.

1)

2)

3)

X – искомый отрезок

Задача №2. Постройте треугольник по трём точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.

Дано: точкиA,B,C.

Построить:, гдеA,B,C–

точки касания сторон с вписанной окружностью.

Построение:

1) Соединим точки A,B,C

2) OA₁,OB₁,OC₁– серединные

перпендикуляры для

3) Построим окружность с центром

в точке О и радиусом OA

4) Строим EF,DE,DF, перпендикулярные

радиусам окружности

5) - искомый