Билет №20.

Задача №1. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 4), В(-3; -1), С(2; -2).

Дано: А(1; 4), В(-3; -1), С(2; -2).

Решение.

1)

2) В - большая сторона. По теореме косинусов:

3) кв.ед.

Ответ:кв.ед.

Задача №2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 6), В(-4; 0), С(-1; -4). Написать уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

Дано:, А(4; 6), В(-4; 0), С(-1; -4),СМ – медиана.

Решение.

Т.к. М – середина ВА, то

.

Уравнение прямой СМ имеет вид , т.к. прямая проходит через точки С и М, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой.

Уравнение медианы СМ имеет вид

Ответ: .

Билет №21.

Задача №1. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6 см и углом 30⁰ (сторона квадрата параллельна диагонали ромба).

Дано:ABCD– ромб,,,MNKL– вписанный квадрат.

Решение.

Пусть - половина стороны квадрата.

Дополнительные построения: диагональ ACиAB.

1) - прямоугольный,

2)

(по двум углам)

Пусть

Сторона квадрата ,

Ответ:

Задача №2. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины a и b) и делящего трапецию на два подобных треугольника.

Дано:ABCD– трапеция,,,

Решение.

Т.к. подобными четырехугольниками называются четырехугольники, у которых все углы соответственно равны и стороны пропорциональны, то из

Ответ:.

Билет №22.

Задача №1. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трёх попарно касающихся окружностей радиусов 1, 1 и -1.

Дано: Окр(О₁;1), Окр(О₂;1), Окр(О₃;), А, В, С – точки касания.

Решение.

1) , причем

2) Рассмотрим

,

Тогда кв.ед.

3) В , а, т.к.- равнобедренный.

А)

Б)

4) (кв.ед.)

Ответ:(кв.ед.)

Задача №2. Круги радиусов 1, 6 и 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.

Дано: Окр(О₁;1), Окр(О₂;6), Окр(О₃;14), А, В, С – точки касания.

Решение.

В ,,.

, где

По формуле Герона:

, тогда

Ответ: .

Билет №23.

Задача №1. Докажите, что биссектриса АА₁ треугольника АВС вычисляется по формуле: АА₁=.

Дано: ,- биссектриса.

Доказательство.

, ч.т.д.

Задача №2. Докажите, что медиана треугольника со сторонами a, b, c, проведённая к стороне а, вычисляется по формуле: .

Дано: , а,b,c–стороны, - медиана.

Решение.

I способ.

Рассмотрим векторы ,,,A₁–

середина ВС, значит .

Заметим, что

II способ.

1) Рассмотрим : пусть

2) Рассмотрим :

3) :

, откуда, ч.т.д.

Билет №24.

Задача №1. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.

Дано:,CO– медиана,

Решение.

О – центр описанной окружности, т.к. О – середина гипотенузы.

1)

- равнобедренный,

2) Аналогично

Ответ:,.

Задача №2. Доказать, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Дано:- прямоугольный,CH– высота,CK– биссектриса,CC₁– медиана.

Доказательство.

1) Т.к. - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке(т.к.– медиана),

2) , но, т.к.- равнобедренный

3) , т.к.CK– биссектриса, тогда, ч.т.д.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Решебник к задачам

экзаменационных билетов

по геометрии для классов

с углубленным изучением

математики за курс

основной средней школы

Автор: Мельниченко

Анна Викторовна

Ученица 10 «А» класса

МОУ лицей №1

Научный руководитель: Будлянская

Наталья Леонидовна

Должность: учитель математики.

Адрес автора: Хабаровский край

г. Комсомольск – на – Амуре

пр. Ленина д.85 кв. 51

т. (4217)551714.

Адрес научного руководителя: Хабаровский край

г. Комсомольск – на – Амуре

ул. Вокзальная д.72 кв. 71

т. (4217)599503.

Адрес образовательного учреждения: Хабаровский край

г. Комсомольск – на – Амуре

ул. Пирогова 21

т. (4217)598260.

г. Комсомольск - на - Амуре