ГЛАВА 9

МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И МНОГОГРАННИКИ.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Многогранные поверхности ≈ Некоторые виды многогранников ≈ Пересечение многогранника плоскостью ≈ Пересечение прямой линии с многогранной поверхностью ≈ Взаимное пересечение многогранников ≈ Развертки многогранников ≈ Способ нормального сечения ≈ Способ раскатки ≈ Способ треугольников (триангуляции) ≈ Систематизация

поверхностей

1. МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность называется многогранной, если она образована частями пересекающихся плоскостей (граней).

Образование некоторых многогранных поверхностей подчинено определенным законам. Так, например, если прямая а (образующая) движется по ломаной направляющей b, оставаясь все время параллельной самой себе, то по-

лучается призматическая поверхность (рис. 1).

Если прямолинейная образующая а движется по ломаной направляющей ABCD и проходит через фиксированную точку S, то получается пирамидальная поверхность (рис. 2). Призматическая поверхность является частным случаем пирамидальной, у которой точка S находится в бесконечности. В том предельном случае, когда направляющая ломаная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.

Рис. 1

Рис. 2

2. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Из многогранных поверхностей можно образовать замкнутые пространства разных конфигураций. Если считать, что эти пространства заполнены точками или каким-то материалом, то их можно считать телами.

Тело, ограниченное многогранной поверхностью, называется многогранником. Линии пересечения граней многогранника называются ребрами, а вершины граней – вершинами многогранника.

Из всего разнообразия многогранников наибольший практический интерес вызывают призмы,

пирамиды, правильные многогранники и их разновидности.

Многогранник, все грани которого правильные и равные многоугольники, называется метрически правильным. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Правильные многогранники исследовал Платон, поэтому их называют по его имени – телами Плато-

на. Таких тел пять: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Рис. 3 Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (рис. 3). Это правильная треугольная пирамида. Каждая из четырех граней

тетраэдра может быть выбрана в качестве его основания.

Гексаэдр – правильный шестигранник, т. е. куб, состоящий из шести равных квадратов (рис. 4).

Октаэдр – правильный восьмигранник (рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр – правильный двенадцатигранник (рис. 6), состоит из 12 правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины.

Икосаэдр – состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины (рис. 7).

Рис. 7

Рис. 6

Число граней Г, вершин В и ребер Р любых выпуклых многогранников связано между собой по знаменитой теореме Эйлера:

Г + В – Р = 2,

т. е. у всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин минус число ребер равно двум.

3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ

Различают два способа построения сечения многогранника плоскостью:

•способ ребер – определяются вершины фигуры сечения;

•способ граней – определяются стороны фигуры сечения.

Какому из способов следует отдать предпочтение, надо решать в каждом конкретном случае.

Способ ребер: вершины многоугольника (фигуры сечения) определяются многократным решением первой позиционной задачи – построением точек пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. На рис. 8 показан пример определения линии пересечения пирамиды плоскостью общего положения α, выраженной следами. Дело сводится к нахождению точек пересечения ребер с плоскостью, т. е. к задаче на пересечение прямой с плоскостью. Рас-

смотрим нахождение точки L, в которой ребро SB пересекает плоскость α. Выполним следующие действия: 1) через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально проецирующую β; 2) находим прямую

линию пересечения 1–2 плоскостей α и β; 3) находим точку L в пересечении прямых SB и 1–2.

Рис. 8

Теперь, видя, что ребро SA расположено параллельно плоскости П2, проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость δ. Она пересекает плоскость α по ее фронтали с начальной точкой 3; в пересечении этой фронтали с ребром SA получаем точку K.

Далее обратим внимание на то, что проекция А1С1 параллельна горизонтальному следу плоскости α и является частью горизонтального следа плоскости грани SAC. А если у двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельны, то линия пересечения таких плоскостей – их общая горизонталь. Поэтому мы можем провести через уже найденную точку K прямую, параллельную ребру АС, и так найти точку М. Если бы не было этих особенностей, то следовало бы поступать аналогично построению точки L.

Рис. 9

Способ граней сводится к применению вспомогательных плоскостей, проходящих через соответствующие грани многогранника. На рис. 9 показано пересечение прямой четырехгранной призмы плоскостью, заданной пересекающимися в точке E горизонталью и фронталью. Обозначим эту плоскость буквой δ.

При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с плоскостью δ . Так как призма прямая, то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу: она накладывается на горизонтальную проекцию призмы. Фронтальную проекцию фигуры сечения определим так:

1)через грань AD проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость α, которая пересекает плоскость δ по линии 1–2. Пересечение этой линии с ребрами A и D дает точки K и L фигуры сечения;

2)через грань ВС проведем еще одну вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β, которая позволяет найти аналогично еще две точки

M и N фигуры сечения.

На фронтальной проекции видимая часть линии пересечения находится на обращенных к зрителю видимых гранях.

4.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

СМНОГОГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получаются две точки. Чтобы определить эти точки, следует провести через данную прямую вспомогательную плоскость и построить линию пересечения ее с гранями (это будет замкнутая ломаная линия); в пересечении полученной линии с данной прямой отметить точки, которые и являются искомыми. На рис. 10 показано построение точек пересечения прямой линии с поверхностью пирамиды.

Через прямую, заданную отрезком АВ, проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость α. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с ее фронтальным следом-проекцией; горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции отрезка АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по най-

денным горизонтальным проекциям K1 и М1 построены фронтальные проекции K2 и М2.

Рис. 10