ГЛАВА 11 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ И ВИНТОВЫЕ

Поверхности вращения ≈ Уравнение поверхности вращения в общем виде ≈ Примеры поверхностей вращения ≈ Сфера ≈ Цилиндр вращения ≈ Конус вращения ≈ Гиперболоид вращения ≈ Тор ≈ Винтовые поверхности ≈ Прямой геликоид ≈ Другие виды винтовых поверхностей

1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо линии вокруг некоторой прямой i (оси вращения) (рис. 1). В зависимости от формы образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми или нелинейчатыми. Когда форма образующей имеет вид прямой линии, это линейчатые поверхности, а если – кривой, то нелинейчатые.

Окружности, по которым перемещаются точки образующей при вращении, называются параллелями. Они образуют непрерывный каркас поверхности вращения. Наибольшая параллель называется экватором, а наименьшая шей-

кой или горловиной.

Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает все параллели по линии, которая называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны между собой. Меридиан, расположенный в плоскости уровня, называется главным. Он проецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения и представляет собой очертание поверхности вращения. Меридианы поверхности тоже образуют ее непрерывный каркас. Каждая параллель пересекает все меридианы под прямым углом. Параллели и меридианы образуют на поверхности вращения ортогональную сетку.

Поверхности вращения могут образовываться кривыми линиями второго порядка. Если ось вращения проходит через центр образующей окружности, получается сфера; при вращении эллипса вокруг одной из его осей получается

Рис. 1

эллипсоид вращения; при вращении параболы – параболоид вращения; при вращении гиперболы – гиперболоид вращения (однополостный, если гипербола вращается вокруг мнимой оси, или двуполостный, если она вращается вокруг действительной оси).

Плоская линия порядка n, вращаясь вокруг оси, в общем случае образует поверхность порядка 2n.

Простейшими поверхностями вращения являются цилиндр, конус и сфера. Поверхности вращения широко применяются для образования технических форм. Это объясняется возможностью их обработки на станках с относительным вращательным движением режущего инструмента и изделия.

2.УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ВОБЩЕМ ВИДЕ

Возьмем в качестве образующей меридиан l в плоскости xOz (рис. 2):

l : z = f(x).

Обозначим текущие координаты произвольной точки L: L (xyz).

Рис. 2

Рассматривая прямоугольный треугольник OLуL1 , примем во внимание,

что

OL = OL1 = x ,

тогда

x = x2 + y2 .

Подставив полученное значение x в уравнение меридиана, найдем, что уравнение поверхности вращения имеет вид

z = f ( х2 + y2 ).

Значит, чтобы перейти от уравнения меридиана в системе хz в виде z = f(х) к уравнению поверхности в системе координат xyz, надо под знак функции f

вместо х подставить выражение x2 + y2 .

3. ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

3.1. СФЕРА

Уравнение меридиана (окружности) х2 + z2 = R2 . Подставив вместо x выражение x = x2 + y2 , получим уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2.

Сфера – поверхность второго порядка (рис. 3).

Рис. 3

3.2. ЦИЛИНДР ВРАЩЕНИЯ

Уравнение меридиана (прямой линии) x = R. Подставив вместо x выражение x = x2 + y2 , получим уравнение цилиндра вращения x² + y² = R2.

Цилиндр вращения – поверхность второго порядка (рис. 4).

Рис. 4