Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат ,к полярным координатам, связанных с прямоугольными координатами соотношениями,, осуществляется по формуле

.

Если область интегрирования ограничена двумя лучами,(), выходящими из полюса, и двумя кривымии, то двойной интеграл вычисляют по формуле

.

Пример 1.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями: ,,,.

Решение. Для вычисления площади области воспользуемся формулой:.

рис. 1.5

Изобразим область (рис. 1.5). Для этого преобразуем кривые: , , , . Перейдем к полярным координатам: , . . В полярной системе координат область описывается уравнениями:

.

.

1.2. Тройные интегралы

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают так:

.

Если , то тройной интеграл по областичисленно равен объему тела:

.

Вычисление тройного интеграла

Пусть область интегрирования ограничена снизу и сверху соответственно однозначными непрерывными поверхностями,, причем проекция областина координатную плоскостьесть плоская область(рис. 1.6).

рис. 1.6

Тогда при фиксированных значениях соответствующие аппликатыточек областиизменяются в пределах. Тогда получаем: . Если, кроме того, проекция определяется неравенствами , , где - однозначные непрерывные функции на, то

.

Пример 1.4. Вычислить , где- тело, ограниченное плоскостями:

рис. 1.7	, ,,(,,). Решение. Областью интегрирования является пирамида (рис. 1.7). Проекция области есть треугольник, ограниченный прямыми,,(рис. 1.8). Приаппликаты точекудовлетворяют неравенству, поэтому .
рис. 1.8	Расставляя пределы интегрирования для треугольника , получим

.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

При переходе от декартовых координат к цилиндрическим координатам(рис. 1.9), связанных ссоотношениями,,, причем

рис. 1.9	, ,, тройной интеграл преобразуется: . Пример 1.5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: ,,. Решение. Искомый объем тела равен.
рис. 1.10	Областью интегрирования является часть цилиндра, ограниченного снизу плоскостью , а сверху плоскостью(рис. 1.10). Проекция областиесть кругс центром в начале координат и единичном радиусом. Перейдем к цилиндрическим координатам. ,,. Приаппликаты точек, удовлетворяют неравенству или в цилиндрических координатах: .

Область , ограниченная кривой, примет вид, или, при этом полярный угол . В итоге имеем

.

2. Элементы теории поля

Напомним предварительно способы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой , сводится к вычислению определенного интеграла вида

,

(2.1)

если кривая задана параметрическиисоответствует начальной точке кривой, а- ее конечной точке.

Вычисление поверхностного интеграла от функции , определенной на двусторонней поверхности, сводится к вычислению двойного интеграла, например, вида

,

(2.2)

если поверхность , заданная уравнением, однозначно проецируется на плоскостьв область. Здесь- угол между единичным вектором нормалик поверхностии осью:

.

(2.3)

Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле (2.3).

Определение 2.1. Векторным полем называется векторная функция точки вместе с областью ее определения:

.

Векторное поле характеризуется скалярной величиной –дивергенцией:

(2.4)

и векторной величиной – ротором:

.

(2.5)

Определение 2.2. Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл:

,

(2.6)

где - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности, а- скалярное произведение векторови.

Определение 2.3. Циркуляцией векторного поля

по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл

,

(2.7)

где .

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:

,

(2.8)

где - тело, ограниченное поверхностью .

Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля и его ротором:

,

(2.9)

где - поверхность, ограниченная замкнутым контуром , а - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура .

Пример 2.1. Вычислить поверхностный интеграл

,

где - внешняя часть конуса(), отсекаемая плоскостью(рис 2.1).

Решение. Поверхность однозначно проецируется в областьплоскости, и интеграл вычисляется по формуле (2.2).

рис. 2.2

Единичный вектор нормали к поверхности найдем по формуле (2.3): . Здесь в выражении для нормали выбран знак плюс, так как угол между осьюи нормалью- тупой и, следовательно,должен быть отрицательным. Учитывая, что, на поверхностиполучаем

.

Область есть круг. Поэтому в последнем интеграле переходим к полярным координатам, при этом,:

.

Пример 2.2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля .

Решение. По формуле (2.4) получаем

.

Ротор данного векторного поля находим по формуле (2.5)

.

Пример 2.3. Найти поток векторного поля через часть плоскости:, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью).

рис. 2.3	Решение. В силу формулы (2.6) . Изобразим часть плоскости :, расположенную в первом октанте. Уравнение данной плоскости в отрезках имеет вид (рис. 2.3). Вектор нормали к плоскости имеет координаты: , единичный вектор нормали
рис. 2.4	. . , , откуда, следовательно,

,

где - проекция плоскостина(рис. 2.4).

.

Пример 2.4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную плоскостьюи частью конуса() (рис. 2.2).

Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (2.8)

.

Найдем дивергенцию векторного поля по формуле (2.4):

.

,

где - объем конуса, по которому ведется интегрирование. Воспользуемся известной формулой для вычисления объема конуса(- радиус основания конуса,- его высота). В нашем случае получаем. Окончательно получаем

.

Пример 2.5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру , образованному пересечением поверхностей и(). Проверить результат по формуле Стокса.

Решение. Пересечением указанных поверхностей является окружность ,(рис. 2.1). Направление обхода выбирается обычно так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура :

откуда

(2.10)

причем параметр изменяется отдо. По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем

.

Применим теперь формулу Стокса (2.9). В качестве поверхности , натянутой на контур , можно взять часть плоскости . Направление нормали к этой поверхности согласуется с направлением обхода контура . Ротор данного векторного поля вычислен в примере 2.2: . Поэтому искомая циркуляция

,

где - площадь области.- круг радиуса, откуда

.

В итоге получаем

.