П. 2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую п. 2.1. Правила перехода из восьмеричной и шестнадцатеричной сс в двоичную сс

Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичное число достаточно заменить каждую цифру восьмеричного (шестнадцатеричного) числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, дописывая нули слева при необходимости.

Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа.

Пример 1. Перевести число 305.48 из восьмеричной СС в двоичную СС.

Решение. Переводимое число Результат

Таким образом, 305.48 = 11000101.12

Отмеченные крайние нули отбросим.

Заметим, что двоичные числа взяты из табл.1.

Обратить внимание, что необходимо двоичные числа дополнить до трехразрядных.

Двоичная q=2: цифры 0,1	Восьмеричная q=8: цифры 0,1,2,…, 6,7
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Пример 2. Самостоятельно перевести 247,568 в двоичную систему счисления.

Пример 3. Перевести число 7D2.E16 из шестнадцатеричной СС в двоичную СС.

Решение. Переводимое число Результат

Отмеченные крайние нули следует отбросить.

Таким образом, 7D2.E16 = 11111010010.1112.

Двоичные числа взяты из табл.1.

Обратить внимание, что необходимо двоичные числа дополнить до четырехразрядных.

Двоичная q=2: цифры 0,1	Шестнадцатиричная q=16: 0,1,…,9,A,B,C,D,E,F
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	А
1011	В
1100	С
1101	D
1110	E
1111	F

П. 2.2. Правила перехода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную сс

Переход от двоичной СС к восьмеричной (шестнадцатеричной) СС осуществляют по триадам (тетрадам).

Двоичное число разбивается на триады (по три цифры) [на тетрады (по четыре цифры)] влево и вправо от запятой.

Если крайние триады (тетрады) получаются неполными, то они дополняются нулями до триад, т.е. до 3-х цифр (до тетрад, т.е. до 4-х цифр).

Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример3. Перевести число 111001100.0012 из двоичной СС в восьмеричную СС.

Решение. Переводимое число Результат.

Примеры:

Пример 4. Перевести число 10111110001.0012 из двоичной СС в шестнадцатеричную СС.

Решение. Переводимое число Результат

Пример 5.

П. 2.3. Общий метод перевода чисел из одной системы счисления в другую систему счисления

Перевод дробных и смешанных чисел не всегда можно произвести точно.

При переводе чисел из системы счисления с основанием q1 в систему счисления с основанием q2 необходимо рассмотреть два случая (q1<q2 и q1>q2).

1). Пусть q1<q2. Перевод осуществляется по следующему правилу.

Число в системе счисления с основанием q1 расписывается по формуле (1)

и вычисляется сумма ряда.

При этом арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием q2.

По правилу легко перевести числа из двоичной и восьмеричной систем счисления в десятичную.

Примеры 6. 1. Перевести 10011.012=N10.

Примеры 6. 2. Перевести354.578=N10.

Примеры 6.3. Самостоятельно перевести 11100111110.1012=N10.

Для этого, вначале удобнее перевести двоичное число по триадам в восьмеричное 11100111110.1012=K8, а затем восьмеричное в десятичноеK8=N10

2). Если q1>q2, используются два правила: для целых и дробных чисел.

Если переводятся целые числа, то необходимо последовательно делить число в системе q1 на основание системы q2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Число в основании q2 записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример7. Перевести целое десятичное число 3710 в двоичную СС:

Решение:

37 2

36 18 2

1 18 9 2

0 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1 2

0 0 0

1

Результат перевода:

Пример 8. Перевести целое десятичное число 185410 в восьмеричную СС :

Решение.

1854 8

1848 231 8

6 224 28 8

7 24 3 8

4 0 0

3

Результат перевода:

Пример 9. Самостоятельно перевести целое десятичное число 1910 в двоичную СС:

Решение:

19 2

18 9 2

1 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1 2

0 0 0

1

Результат перевода:

При переводе дробных чисел необходимо последовательно умножать число в системе q1 на основание системы q2 (по правилам системы q1), отделяя после каждого умножения целую часть произведения.

Число в системе q2 (после точки) записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю.

Это значит, что сделан точный перевод.

В противном случае перевод осуществляется до заданной степени точности.

Пример 10. Перевести правильную десятичную дробь 0.187510 в двоичную СС.

Решение.

Запишем результат перевода: 0.187510 = 0.00112

Обычно перевод дробей из одной СС в другую производят приближенно.

Переведем

0,734 0,872 0,976 0,808 0,464

8 8 8 8 8

5,872 6,976 7,808 6,464 3,712 и т.д.

Результат перевода:

При переводе неправильной дроби переводят отдельно целую и дробную части, руководствуясь соответствующими правилами.

Пример 11.Самостоятельно перевести десятичное число 9.62510 в двоичную СС .

Решение.

В начале переведем целую часть десятичного числа в двоичную СС:

910=10012.

Затем переведем правильную дробь:

0.62510 = 0.1012.

Окончательный ответ: 9.62510 = 1001.1012.

Замечание:

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное число

можно вначале шестнадцатеричное число перевести в двоичное, а затем двоичное представив в виде полинома по формуле (1)

или

2) можно представить число в виде полинома (по формуле (1)), подставить в него известные коэффициенты, заменяя А=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 и вычислить сумму.

Пример 12.Перевести шестнадцатеричное число 2Е5.А16 в десятичную СС.

Решение.

1. 2E5.A16 = 1011100101.1012 = 1•29 + 0•28 + 1•27 + + 1•26 + 1•25 + 0•24 + 0•23 + 1•22 + 0•21 + 1•20 + + 1•2-1 + 0•2-2 + 1•2-3 = 512 + 128 + 64 + 32 + 4 + + 1 + 1/2 + 1/8=741+5/8=741.625.