2 Трансляционная симметрия кристаллов

Пространственная решетка Браве отражает трансляционную симметрию кристалла.

Под симметрией тел обычно понимают их свойство совмещаться с самими собой при определенных преобразованиях, которые называются операциями симметрии. Эти преобразования не должны сопровождаться растяжениями, сжатиями, сдвигами и другими деформациями, при которых изменяются расстояния между различными точками тела.

Примером преобразования, совмещающего кристаллическую решетку с самой собой, является операция смещения решетки на вектор трансляции , или . Такое смещение решетки, собственно, и называется трансляцией. Нетрудно сообразить, что решетка будет переходить в себя и при трансляции на любой вектор , равный линейной комбинации векторов , и :

.

(4.3)

Симметрию кристаллической решетки, связанную с трансляциями на вектор трансляции , называют трансляционной симметрией.

Так как m, n и p в выражении (4.3) – это произвольные целые числа, существует не один, а целое множество различных векторов трансляции . Это множество векторов трансляции называют группой трансляций, а трансляционную симметрию кристалла иногда называют симметрией по отношению к группе трансляций.

Трансляционная симметрия кристаллов отражает периодичность в расположении атомов, ионов или молекул, из которых они состоят. При этом справедливо и обратное утверждение: если система атомов обладает трансляционной симметрией, атомы в системе должны располагаться в пространстве в определенном порядке – регулярно. Поэтому если система атомов обладает трансляционной симметрией, говорят, что такая система обладает дальним порядком в расположении атомов.

Таким образом, кристаллы обладают дальним порядком в расположении атомов.

3 Точечная симметрия кристаллов

Операции симметрии не ограничиваются группой трансляций. Кроме трансляций, существуют операции симметрии, которые называются точечными: вращение, отражение, инверсия и зеркально-поворотное преобразование. Точечное преобразование в теории симметрии – это преобразование, которое оставляет в покое, т. е. неподвижной, хотя бы одну точку фигуры. Если при некотором точечном преобразовании фигура переходит сама в себя, то говорят, что она симметрична относительно этого преобразования и обладает соответствующим элементом симметрии: осью вращения, плоскостью отражения, центром симметрии или зеркально-поворотной осью.

Рассмотрим точечные операции симметрии подробнее.

3.1 Симметрия по отношению к группе вращений

Операцией вращения (вращением) называется поворот вокруг какой-либо оси на определенный угол . Если фигура переходит в себя при вращении на угол  = 360^°/n, где n – положительное целое число, соответствующая ось называется осью симметрии n–го порядка и обозначается как C_n.

Множество всевозможных поворотов, которые переводят кристаллическую решетку в себя называется группой вращений кристалла. Симметрию кристалла по отношению к этим поворотам называют поворотной симметрией или симметрией по отношению к группе вращений.

На рис. 4.7 изображена фигура, обладающая осью симметрии 6-го порядка C₆. Ясно, что если фигура симметрична относительно поворота на угол 360^°/n, то она будет переходить в себя и при преобразованиях C_n^k – поворотах на угол k·360^°/n, где 1  k  n – целое число. При этом C_nⁿ – это отсутствие всякого преобразования, то есть тождественное преобразование C₁.

Можно показать, что кристаллическая решетка (т.е фигура, обладающая трансляционной симметрией) может иметь только оси симметрии 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Другими словами, группа вращений любого кристалла является подгруппой (т.е. подмножеством) группы вращений {C₁, C₂, C₃, C₄, C₆}.