3.2 Симметрия по отношению к группе отражений
Если фигура переходит в себя при отражении относительно какой-либо плоскости (рис. 4.8), то эту плоскость называют плоскостью симметрии и обозначают буквой σ. Если у фигуры есть и плоскость симметрии, и ось симметрии, то плоскость симметрии, которая проходит через ось симметрии обозначается символом σv (v – «вертикальная»), а плоскость симметрии, перпендикулярная оси симметрии, – символом σh (h – «горизонтальная»).
|
Рис. 4.7. Правильная шестигранная призма, обладающая осью симметрии (АВ) 6-го порядка. Она переходит в себя при повороте вокруг оси АВ на угол 60° = 360°/6. Эта фигура будет симметрична и относительно поворотов на угол k·360°/6, где 1 k 6 – целое число. Таким образом, кроме оси симметрии C6 она обладает осями симметрии 3-го, 2-го и 1-го порядка (C3, C2 и C1). Множество вращений {C1, C2, C3, C6} образует группу вращений правильной шестигранной призмы. |
|
|
Рис. 4.8. Плоскость симметрии σ. |
|
Множество всевозможных отражений, которые переводят кристаллическую решетку в себя называется группой отражений кристалла. Симметрию кристалла по отношению к этим отражениям называют симметрией по отношению к группе отражений.
Следует отметить, что наличие в теле поворотной оси любого порядка еще не означает, что в нем есть плоскость симметрии, проходящая через эту ось. Так, правильная шестигранная призма (рис. 4.7) имеет 6 плоскостей симметрии, проходящих через ось АВ. Если взять совокупность таких призм с общей осью, произвольно повернутых относительно друг друга, то поворотная ось сохранится, однако плоскостей симметрии, проходящих через эту ось, вообще говоря, не будет.
3.3 Зеркально-поворотная симметрия
Операция поворота тела вокруг неподвижной оси на угол 360°/n с последующим отражением его в плоскости, перпендикулярной к той же оси, называется зеркально-поворотным преобразованием. Если в результате такого преобразования тело переходит само в себя, то соответствующую ось называют зеркально-поворотной осью n-го порядка и обозначают символом Sn.
На рис. 4.9 изображена система из четырех точек ABCD, которая обладает зеркально-поворотной осью четвертого порядка. Очевидно, эта ось является также обычной поворотной осью второго порядка.
Можно доказать, что при нечетном n зеркально-поворотная ось n-го порядка не является новым элементом симметрии, а сводится к комбинации поворотной оси n-го порядка Сn и перпендикулярной к ней плоскости симметрии σh. Поэтому при рассмотрении зеркально-поворотных осей достаточно ограничиться осями четных порядков.
|
Рис. 4.9. Система из четырех точек ABCD, которая обладает зеркально-поворотной осью четвертого порядка. Эта ось является также обычной поворотной осью второго порядка. |
|
|
Рис. 4.10. Один из центров симметрии (О) ГЦК решетки. |
|
Множество всех зеркально-поворотных преобразований, которые переводят кристаллическую решетку в себя называется группой зеркально-поворотных преобразований кристалла. Симметрию кристалла по отношению к этим преобразованиям называют зеркально-поворотной симметрией.
Подобно группе вращений группа зеркально-поворотных преобразований любого кристалла является подгруппой группы {S1, S2, S3, S4, S6}. Другими словами, кристаллическая решетка может иметь только зеркально-поворотные оси симметрии 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка.