Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tip_rasch_ver.pdf

Скачиваний:

817

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4832 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

7	38	49	63	17	60	55	38	27	62	44	56
8	40	65	51	18	55	62	45	28	45	66	54
9	39	50	64	19	56	44	62	29	66	54	45
10	47	38	62	20	46	59	60	30	45	55	62

3.6.3. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин

Постановка задачи. Можно ли по результатам наблюдений двух случайных величин сделать вывод об их зависимости или независимости.

В приложениях эта задача имеет следующую постановку. Пусть каждый элемент генеральной совокупности обладает двумя признаками A и B, признак A имеет градации(или уровни) A1, A2 ,K, Ak , а признакB различается по уровням B1, B2 ,K, Bs . Возникает вопрос, связаны ли друг с другом эти признаки?

Естественно считать, что A и B независимы, если при выборе любого элемента генеральной совокупности независимы события«признак A

принимает значение Ai» и «признак B принимает значение Bj» при всех i и j. Формально это означает, что

P( Ai Bj ) = P( Ai )P(Bj )

(3.6.4)

для

всех Ai

и Bj. Проверить

непосредственно выполнение

соотношения

(3.6.4) нет возможности, так как значения входящих в него вероятностей

неизвестны.

наугадn

Пусть

взятых

членов

генеральной

совокупности

определены величины признаков A и B. По этим результатам можно найти

nij ––

число

наблюдений

пары значений признаковAi и Bj. Тогда общее

число наблюдений значений признака Ai равно

ånij

= ni1 + ni 2 +K+ nis

= ni* .

(3.6.5)

j=1

Аналогично, число наблюдений признака Bj равно

ånij

= n1 j + n2 j +K+ nrj

= n* j .

(3.6.6)

i=1

Обычно

результаты

наблюдений

оформляют

виде ,таблицы

которую называют таблицей сопряженности признаков.

Таблица сопряженности признаков

n11

n21

ni1

nk1

n*1

n12

n22

ni2

nk2

n*2

216

Bj	n1j	n2j	L	nij	L	nkj	n*j
L	L	L	L	L	L	L	L
Bs	n1s	n2s	L	nis	L	nks	n*s
	n1*	n2*	L	ni*	L	nk*	n

Введем обозначения для вероятностей. Положим

pij = P( Ai B=j ), P(=Ai )

å=Pij

pi*=,

P(Bj ) åPij

p* j .

j=1

i=1

Необходимо проверить

гипотезуH0:

pij

= pi* p* j

для

всех пар(i, j),

i =1, 2,K, k, j =1, 2,¼, s.

Если наблюдений много (хотя бы несколько десятков), то по теореме

Бернулли

nij

¾¾¾® p ,

¾¾¾® p

n* j

¾¾¾® p

n®¥

i *

n®¥

* j

Критерий основан

на

сравнении

наблюдаемых

чисел появления

комбинаций признаков с числами появлений, которые должны были бы быть, если бы признаки были независимы и не подвергались различным случайностям.

			Поскольку вероятность наступления двух		независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий, то за оценку вероятности
совместного появления событийAi и Bj можно					принять произведение
	n		n* j	(обе эти дроби –– оценки соответствующих вероятностей). Тогда
	i*	×
			n
	n

теоретическое число наблюдений пары Ai и Bj должно быть равным

n ×	n		n* j		nin j		.
	i*	×		=
			n			n
	n
Эту величину можно назвать теоретическим числом появлений парыAi и
Bj. При верной гипотезе	величины					nin j		не должны значительно
						n

отличаться от nij. О степени расхождения между ними можно судить по величине

			æ				n n	ö2
			ç	n	-		i* * j	÷
				n	-
		k s		ij			n
	2	k s	è				n	ø
U		= åå							.	(3.6.7)
U		= åå				nin j			.	(3.6.7)
		i=1 j=1				nin j
							n
Если гипотеза H0 о независимости верна, то при n ® ¥ величина U 2
имеет распределение «хи-квадрат» с							r = (k -1)(s -1)			степенями свободы.

Число степеней свободы определяется из следующих соображений. Всего слагаемых rs. На них накладываются связи. Прежде всего,

217

ånij = n.

Определяя ni*, мы воспользовались k равенствами (3.6.5), но в силу

k
åni* = n, фактически независимых			слагаемых	будетk – 1. Из	тех же
i=1			только s -1	слагаемое	является
соображений	в	равенствах(3.6.6)	только s -1	слагаемое	является

независимым. Поэтому число степеней свободы

r= ks – (k -1) – (s – 1) – 1 = (k – 1)(s – 1).

Втаблице распределенияc2 по заданному уровню значимости иβ

числу степеней свободы r = (k – 1)(s – 1)	находим c2	такое, что P(U 2 ³ c2 ).
	b			b
Критическая область для проверки гипотезы имеет вид W			= [c2	,¥) . Остается
		0	b
вычислить фактическое значениеU 2 .	Если оно	попадает		в критическую

область, то гипотеза отвергается, при этом вероятность ошибочности этого

вывода равна	β. Если вычисленное		значениеU 2	не входит в	критическую
область, то гипотеза опытным данным не противоречит.
Пример 3.17. Данные о сдаче экзамена246 студентами сгруппированы
в зависимости от места окончания студентом средней школы.

Оценка	Москвичи	Ближнее		Иногородние	n*j
Оценка	Москвичи	Подмосковье		Иногородние	n*j
		Подмосковье
Отлично	16		11	19	46
Хорошо	21		21	26	68
Удовл.	35		38	19	92
Неудовл.	13		10	17	40
ni*	85		80	81	246

Можно ли по этим данным заключить, что успеваемость студентов практически не зависит от места получения ими среднего образования? (Уровень значимости взять, например, равным 0,05.)

Решение. Предположим, что успеваемость студентов не зависит от места получения среднего образования(это гипотеза, которую предстоит проверить). Число степеней свободы равно r = (3 – 1)(4 – 1) = 6. Для уровня

значимости

b = 0,05

и числа степеней свободыr = 6 из таблицы

распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4)

находим критическое

значение c2

=12,59 .

Критическую

область W

составляют значения

U 2 Î[12,59; ¥) . Вычислим фактическое значение U 2

по формуле (3.6.7):

46 ×85

ö2

46 ×85

46 ×80

ö2

46 ×80

= ç16 -

+ ç11

246

218

46 ×81

ö2

46 ×81

68 ×85

ö2

68 ×85

+ç19

+ ç

21 -

+K+

246

40 ×81

ö2

40 ×81

+ç17 -

=11,047.

246

Вычисленное значение U 2 =11,047 <12,59 , т.е. не является критическим. Расхождения в данных по успеваемости можно объяснить случайными факторами (случайный отбор студентов, случайности при выборе билета на экзамене и т.д.).

Ответ. Предположение о независимости успеваемости студентов от места получения ими среднего образования не противоречит опытным данным.

Задача 3.17. Приведены данные о возрасте и уровне образования (среднее, среднее профессиональное, высшее) у работников некоторой фирмы. При уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о том, что уровень образования и возраст независимы.

Образование	Среднее	Среднее	Высшее
Возраст		профессиональное
до 30 лет	n11	n21	n31	n*1
больше 30 лет	n12	n22	n32	n*2
	n1*	n2*	n3*	n

(См. пример 3.17 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 3.17.

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
1	20	13	18	23	20	26
2	36	32	21	14	11	16
3	25	18	21	19	22	15
4	19	22	15	25	18	21
5	17	18	12	22	14	17
6	31	21	30	19	32	28
7	16	20	33	21	14	26
8	21	22	32	17	30	28
9	35	26	22	29	20	24
10	28	21	29	20	25	21
11	32	27	35	22	28	26
12	38	35	34	27	21	25
13	13	10	15	25	14	23
14	39	35	34	27	19	26
15	22	14	17	16	23	18

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
16	21	25	20	29	21	28
17	28	32	19	30	21	31
18	15	22	19	21	18	25
19	24	20	29	22	26	35
20	16	11	14	21	32	36
21	21	18	25	15	22	19
22	28	30	17	32	22	21
23	26	28	22	35	27	32
24	26	14	21	33	20	16
25	25	21	27	34	35	38
26	18	23	16	17	14	22
27	23	14	25	15	10	13
28	26	20	23	18	13	20
29	26	19	27	34	35	38
30	29	25	28	37	40	41

219

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4832 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201531 Кб176test1.docx
#
01.03.2025140 Кб3testovyj_kontrol_znanij.doc
#
31.03.20151 Мб27Testy_RZA_s_Doc.pdf
#
31.03.20154 Мб87Thermodynamics.pdf
#
31.03.201526 Кб20Tiitel.doc
#
31.03.20153 Мб817Tip_rasch_ver.pdf
#
13.03.2016783 Кб8tipar_po_empp мой.docx
#
31.03.20153 Мб318Tipovoy_po_ISU_2014.doc
#
31.03.201586 Кб34Tipovoy_raschyot_po_elektrostatike_IEE.doc
#
31.03.201528 Кб16Titul_Razdatochnyy_material.doc
#
01.07.2025977 Кб0toe_nov (3).docx

7	38	49	63	17	60	55	38	27	62	44	56
8	40	65	51	18	55	62	45	28	45	66	54
9	39	50	64	19	56	44	62	29	66	54	45
10	47	38	62	20	46	59	60	30	45	55	62

Bj	n1j	n2j	L	nij	L	nkj	n*j
L	L	L	L	L	L	L	L
Bs	n1s	n2s	L	nis	L	nks	n*s
	n1*	n2*	L	ni*	L	nk*	n

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
1	20	13	18	23	20	26
2	36	32	21	14	11	16
3	25	18	21	19	22	15
4	19	22	15	25	18	21
5	17	18	12	22	14	17
6	31	21	30	19	32	28
7	16	20	33	21	14	26
8	21	22	32	17	30	28
9	35	26	22	29	20	24
10	28	21	29	20	25	21
11	32	27	35	22	28	26
12	38	35	34	27	21	25
13	13	10	15	25	14	23
14	39	35	34	27	19	26
15	22	14	17	16	23	18

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
16	21	25	20	29	21	28
17	28	32	19	30	21	31
18	15	22	19	21	18	25
19	24	20	29	22	26	35
20	16	11	14	21	32	36
21	21	18	25	15	22	19
22	28	30	17	32	22	21
23	26	28	22	35	27	32
24	26	14	21	33	20	16
25	25	21	27	34	35	38
26	18	23	16	17	14	22
27	23	14	25	15	10	13
28	26	20	23	18	13	20
29	26	19	27	34	35	38
30	29	25	28	37	40	41

7	38	49	63	17	60	55	38	27	62	44	56
8	40	65	51	18	55	62	45	28	45	66	54
9	39	50	64	19	56	44	62	29	66	54	45
10	47	38	62	20	46	59	60	30	45	55	62

Bj	n1j	n2j	L	nij	L	nkj	n*j
L	L	L	L	L	L	L	L
Bs	n1s	n2s	L	nis	L	nks	n*s
	n1*	n2*	L	ni*	L	nk*	n

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
1	20	13	18	23	20	26
2	36	32	21	14	11	16
3	25	18	21	19	22	15
4	19	22	15	25	18	21
5	17	18	12	22	14	17
6	31	21	30	19	32	28
7	16	20	33	21	14	26
8	21	22	32	17	30	28
9	35	26	22	29	20	24
10	28	21	29	20	25	21
11	32	27	35	22	28	26
12	38	35	34	27	21	25
13	13	10	15	25	14	23
14	39	35	34	27	19	26
15	22	14	17	16	23	18

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
16	21	25	20	29	21	28
17	28	32	19	30	21	31
18	15	22	19	21	18	25
19	24	20	29	22	26	35
20	16	11	14	21	32	36
21	21	18	25	15	22	19
22	28	30	17	32	22	21
23	26	28	22	35	27	32
24	26	14	21	33	20	16
25	25	21	27	34	35	38
26	18	23	16	17	14	22
27	23	14	25	15	10	13
28	26	20	23	18	13	20
29	26	19	27	34	35	38
30	29	25	28	37	40	41

7	38	49	63	17	60	55	38	27	62	44	56
8	40	65	51	18	55	62	45	28	45	66	54
9	39	50	64	19	56	44	62	29	66	54	45
10	47	38	62	20	46	59	60	30	45	55	62

Bj	n1j	n2j	L	nij	L	nkj	n*j
L	L	L	L	L	L	L	L
Bs	n1s	n2s	L	nis	L	nks	n*s
	n1*	n2*	L	ni*	L	nk*	n

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
1	20	13	18	23	20	26
2	36	32	21	14	11	16
3	25	18	21	19	22	15
4	19	22	15	25	18	21
5	17	18	12	22	14	17
6	31	21	30	19	32	28
7	16	20	33	21	14	26
8	21	22	32	17	30	28
9	35	26	22	29	20	24
10	28	21	29	20	25	21
11	32	27	35	22	28	26
12	38	35	34	27	21	25
13	13	10	15	25	14	23
14	39	35	34	27	19	26
15	22	14	17	16	23	18

№	n11	n21	n31	n12	n22	n32
16	21	25	20	29	21	28
17	28	32	19	30	21	31
18	15	22	19	21	18	25
19	24	20	29	22	26	35
20	16	11	14	21	32	36
21	21	18	25	15	22	19
22	28	30	17	32	22	21
23	26	28	22	35	27	32
24	26	14	21	33	20	16
25	25	21	27	34	35	38
26	18	23	16	17	14	22
27	23	14	25	15	10	13
28	26	20	23	18	13	20
29	26	19	27	34	35	38
30	29	25	28	37	40	41