вызов, т.е. интенсивность потока равна m =1 / 5 вызова в минуту.

Ввариантах 1–10: какова вероятность того, что k минут подряд не будет вызовов, а в следующие пять минут поступят два вызова(k –– номер варианта)?

Ввариантах 11–19: какова вероятность того, что в первыеk минут вызовы были, а в последующие пять минут вызовов не было(k равно последней цифре номера варианта)?

Ввариантах 21–29: какова вероятность того, что за k минут поступит только один вызов, а в последующие пять минут вызовов не будет(k равно последней цифре номера варианта)?

Ввариантах 20, 30: какова вероятность того, что в первые пять минут вызовов не будет, а в последующие пять минут поступитm вызовов, где m равно первой цифре варианта. (См. пример 2.35).

Задача 2.35.2. В некотором районе в среднем каждый будний день происходит одно дорожно-транспортное происшествие(ДТП). Какова вероятность того, что в этом районе в первые два дня недели произойдетk1 ДТП, в последующие два дня–– k2, а в последний будний деньk3 ДТП? Какова вероятность того, что за все пять дней произойдет k1 + k2 + k3 ДТП? (См. пример 2.35 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.35.2.

2.8. Случайные величины. Функция распределения. Функция плотности вероятности. Числовые характеристики

2.8.1. Случайные величины

66

событий. Экспериментатор обычно не просто наблюдает, а измеряет, и в результате эксперимента получается число. Тем самым каждому исходу эксперимента ставится в соответствие определенное числоx(w), а это означает, что на множестве исходов эксперимента определена некоторая числовая функция.

Определение. Случайной величиной называется функцияx =x(w),

определенная на множестве элементарных исходов эксперимента и принимающая действительные или комплексные .значенЕслия множество исходов эксперимента конечно, то приведенное определение является точным. В общем случае функцияx(w) полагается измеримой. Случайная величина считается заданной, если указано, какие значения она может принимать и каковы вероятности этих значений.

Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Фактически для задания закона распределения нужно перечислить все возможные значения случайной величины и указать вероятности этих значений.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины. Если он задан, то с вероятностной точки зрения случайная величина описана полностью. Поэтому часто говорят о том или ином законе распределения, имея в виду случайную величину, которая распределена по этому закону.

Случайные величины будем обозначать большими латинскими буквами Х ,Y , Z ,¼, а отдельные возможные значения этих величин соответствующими малыми буквами х, у, z,¼ .

Определение. Случайную величину называютдискретной, если она может принимать отделенные друг от друга значения с определенными вероятностями. Множество возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно, т.е. их можно занумеровать с помощью ряда натуральных чисел.

Определение. Случайная величина называетсянепрерывной, если ее

возможные значения составляет некоторый интервал(конечный или бесконечный).

67

дискретной случайной величины и вероятностями этих значений можно задать в виде формулы. Если это затруднительно, то можно просто перечислить то и другое в виде таблицы, называемой рядом распределения:

соображений наглядности принято возможные значения перечислять в порядке возрастания. События Х = х1, Х = х2 , K несовместимы, и в результате опыта одно из них непременно происходит, .е. эти события образуют полную группу. Поэтому å pi =1.

многоугольником распределения (рис. 2.8.1).

Рис. 2.8.1

2.8.2. Функция распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины X

называют функцию

F (x) = P( X < х),

определяющую для каждого значениях вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение меньшее х.

Непосредственно из определенияфункции распределения можно вывести ряд ее свойств.

1. 0 £ F (x) £1. Это следует из того, что F (x) равна вероятности, а вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Отметим также, что F (-¥) = Р( Х < –¥) = 0 и F (+¥) = Р( Х < +¥) =1, так как события Х < –¥ и Х < +¥ являются соответственно невозможным

идостоверным.

2.Функция распределения является неубывающей, т.е. F (x1 ) £ F (x2 )

при x1 < x2 . В самом деле, при x1 < x2 появление событияХ < x2

68

Следовательно, если a и b точки непрерывности функции F (x) , то

Р(a < Х < b) = Р(a £ Х < b) = Р(a < Х £ b) = Р(a £ Х £ b) = F (b) – F (a).

Впредь будем называть непрерывными только случайные величины с непрерывной функцией распределения. Для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельно взятого значения равна .нулю Сходная ситуация в геометрии. Геометрическая точка не имеет размера, а состоящий из точек интервал имеет отличную от нуля длину. Так и для непрерывной случайной величины: одно отдельно взятое значение имеет нулевую вероятность, хотя и является возможным значением, и только интервалы значений имеют отличную от нуля вероятность.

График функции распределения одной из непрерывных случайных величин изображен на рис. 2.8.2.

Рис. 2.8.2

69

Функцию распределения можно задать и для непрерывной и для дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины функция распределения представляет собой, как это следует из определения, функцию накопленных вероятностей:

F (x) = SР( Х = хi ),

где суммирование распространяется на все значения индексаi, для которых хi < x.

Если дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

то ее функция распределения имеет вид ступенчатой функции, причем скачки функции равны вероятностям соответствующих значенийХ (рис. 2.8.3).

непрерывного роста в некоторых точках имеет разрывы. Такие величины называют смешанными случайными величинами. Примером смешанной случайной величины может служить время ожидания у светофора. Пусть, например, равновозможно прибытие автомобиля к перекрестку в любой момент цикла работы светофо(риса. 2.8.4). Найдем функцию распределения времени ожидания автомобиля.

Рис. 2.8.4

70