Решение
Построим
тело, полученное вращением фигуры,
ограниченной линиями:
,х
= 0, у
=
вокруг оси Оу.
–парабола,
с вершиной
в точке (0; 0).
Точка пересечения с осями координат (0; 0).
у
у
=
0 х
Объем
тела, образованного вращением вокруг
оси Оу
вычисляется по формуле
.Выразим
.
(ед3).
б)
Найти объем
тела, образованного вращением вокруг
оси Ох
фигуры, ограниченной линиями:
,
у = -4.
Решение
Построим
тело, полученное вращением
фигуры, ограниченной линиями:
,
у = -4 вокруг
оси Ох.
–парабола,
с вершиной
в точке (0; 0), ветви параболы направлены
вниз.
Точка пересечения с осями координат (0; 0).
Объем
тела, образованного вращением вокруг
оси Ох
вычисляется по формуле
.
.Выразим
.
Найдем
точки пересечения параболы
и прямойу =
- 4:
,
,
у
4
- 4
(ед3).
№ 8. Найти длину окружности с центром в начале координат и радиуса R.
Решение
Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах находится по формуле:
. 
у
0 х
Так
как
,
то
.
Найдем
часть ее длины от точки (0;R).
Значит,
.
Если уравнение окружности записать в параметрическом виде:
х
= R
cos
t,
y
= R
sin
t
(
),
то длина l
кривой
находится по формуле:
.
,
.
Задания контрольной работы № 2
1 – 25. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить график.
1. 
. 2.
.
3. 
. 4.
.
5. 
. 6.
.
7. 
. 8.
.
9. 
. 10
.
11. 
. 12.
.
13. 
. 14.
.
15. 
. 16.
.
17. 
. 18.
.
19. 
. 20.
.
21. 
. 22.
.
23. 
. 24.
.
25. 
.
26 – 50. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. Изобразить все числа на комплексной плоскости. Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.
26. z1 = 3 - 3i, z2 = - 1 – i. 27. z1 = 3i, z2 = - 1 + i.
28. z1
= - 2
-
i,
z2
= - 1
–
i. 29. z1
= - 3
+ 3i,
z2
= 2
–
2i.
30. z1
= - 2i,
z2
= -
–
i. 31. z1
= -
5
+ 5i,
z2
= –2
i.
32. z1
=
6 +
6i,
z2
= -
+ i. 33. z1
= 2
-
i,
z2
= 1
–
i.
34. z1 = - 4 + 4i, z2 = 2 + 2i. 35. z1 = 2i, z2 = 2 – 2i.
36. z1
= 5i,
z2
=
–
i. 37. z1
= 7
- 7i,
z2
= – i.
38. z1
=
1 -
i,
z2
=
- i. 39. z1
= 3
-
i,
z2
= 3
i.
40. z1
= 4i,
z2
= 2
-
2i. 41. z1
= 2
-
2i,
z2
= 1
+
i.
42. z1
= 2
+ 2i,
z2
= -
2 + 2i. 43. z1
= - 5i,
z2
=
+
i.
44. z1
= - 7
+ 7i,
z2
= 7
i. 45. z1
=
1 +
i,
z2
= -
3
+
i.
46. z1
= -
3
+
i,
z2
= -7
i. 47. z1
= -
4i,
z2
= -
2 -
2i.
48. z1
= -
4
-
4i,
z2
= 1
-
i. 49. z1
= - 8
+ 8i,
z2
= 1
-
i.
50. z1 = 6i, z2 = 2 + 2i.
51 – 75. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и в) результаты проверить дифференцированием.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
76 – 100. вычислить определенный интеграл.
76.
. 77.
.
78.
. 79.
.
80.
. 81.
.
82.
. 83.
.
84.
. 85.
.
86.
. 87.
.
88.
. 89.
.
90.
. 91.
.
92.
. 93.
.
94.
. 95.
.
96.
. 97.
.
98.
. 99.
.
100.
.
101–125. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
101.
. 102.
.
103.
. 104.
.
105.
. 106.
.
107.
. 108.
.
109.
. 110.
.
111.
. 112.
.
113.
. 114.
.
115.
. 116.
.
117.
. 118.
.
119.
. 120.
.
121.
. 122.
.
123.
. 124.
.
125.
.
126 – 150. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.
126.
. 127.
.
128.
. 129.
.
130.
. 131.
.
132.
. 133.
.
134.
. 135.
.
136.
. 137.
.
138.
. 139.
.
140.
. 141.
142.
. 143.
.
144.
. 145.
146. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
r
= 3(1
+ сos
).
147. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
х
=a (t
– sin t),
y = a (1
– сos
t)
(
)
и
осью
Ох.
148. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
r
= 4 sin
2
.
149. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой
r
= 4
sin
3
.
150. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
r2
= 2
cos
2
.