На схеме обычно коммутация указывается в виде рубильника со стрелкой. На рис. 9.1,а стрелка означает включение рубильника, стрелка на рис. 9.1,б – отключение.

а) б)

мени t = 0.

3. Конечный установившийся режим после коммутации, который наступает теоретически при t , а практически, как будет показано ниже, через сравнительно короткое время.

Длительность переходного процесса исчисляется обычно весьма малыми долями секунды, но токи и напряжения за это время могут достигнуть значений значительно больших величин, чем в установившемся режиме, а это может привести к повреждению электрооборудования. Кроме того, в таких областях техники, как электроника, радиотехника, автоматика и др., важно знать о характере переходных процессов, что позволяет определить характеристики систем.

Следовательно, изучение и расчет переходных режимов являются актуальной задачей.

Прежде чем приступить к расчету переходных процессов, рассмотрим два важных вопроса: законы коммутации и начальные условия.

9.2. Законы коммутации. Начальные условия

Переходные процессы связаны с изменением магнитной энергии в индуктивности L и электрической энергии в емкости С и запасом этих энергий на момент коммутации.

Энергия магнитного поля в индуктивности

132

и энергия электрического поля в емкости

не могут изменяться мгновенно, так как для мгновенного изменения энергии потребовались бы бесконечно большие мощности источников, что физически невозможно.

Если учесть, что индуктивность L и емкость С неизменны, то из соотношения (9.1) следует, что ток и потокосцепление в индуктивности не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положение известно под названием первого закона коммутации. Из соотношения (9.2) следует, что напряжение на емкости и его заряд не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положе-

ние называется вторым законом коммутации.

Для учета влияния энергетического состояния цепи на момент коммутации и для записи законов коммутации введем понятие тока iL ( 0) в индуктивно-

сти и напряжения uC ( 0) на емкости в последний момент перед коммутацией, а также понятие тока iL ( 0) в индуктивности и напряжения uC ( 0) на

емкости в первый момент после коммутации. Напомним, что за момент коммутации принято время t = 0. В соответствии с этим законы коммутации можно записать в виде:

(9.4)

Заметим, что напряжение на индуктивности и ток в емкости могут изменяться мгновенно.

Если цепь содержит только активные сопротивления, то запасенная энергия электрического и магнитного полей несоизмеримо мала с выделяющейся тепловой энергией в сопротивлениях, что обусловливает отсутствие переходных процессов в таких цепях. При этом ток и напряжения изменяются мгновенно от первоначально установившегося режима до нового установившего-

ся режима. Независимыми начальными условиями называются токи iL( 0)

в индуктивностях и напряжения uC( 0) на емкостях. В дальнейшем для краткости будем их называть начальными условиями. Если iL( 0)=0 и uC( 0)=0, то такие начальные условия называются нулевыми. Следует отметить, что характер переходного процесса зависит от начальных условий.

133

9.3. Применение дифференциальных уравнений к расчету переходных процессов

9.3.1. Классический метод

Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются дифференциальными уравнениями, составленными согласно первому и второму законам Кирхгофа с использованием уравнений элементов. Порядок дифференциального уравнения определяется тем, сколько в цепи имеется накопителей электрической и магнитной энергии. Если требуется найти ток ik в к-й ветви, то исключая последовательно все токи остальных ветвей, можно получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток ik и его производные

Здесь an , an 1 , a1 , a0 - постоянные коэффициенты, значение которых за-

висит от конфигурации цепи. Правая часть f(t) содержит в себе заданные ЭДС.

Полный интеграл дифференциального уравнения с правой частью равен сумме частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без правой части (однородного) 1 .

Частное решение уравнения (9.5) дает нам значение тока при t = , т. е. при установившемся режиме, наступившем после коммутации. Характер и величина этой составляющей определяются внешними источниками. Поэтому ее часто называют принужденной составляющей и обозначают как iпр. Например, если источники постоянны, то и принужденный ток iпр = const. Если же ЭДС заданы в виде синусоидальных функций, то iпр также будет синусоидальной функцией. Определение iпр является задачей расчета установившегося режима в цепи, способы и методы которого рассматривались в предыдущих разделах курса 1 , 2 , 3 .

Общее решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет запаса энергии в индуктивностях и емкостях, который был в начальный момент времени.

134

Так как в реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии (преобразование в тепло), то запас энергии будет со временем исчерпан и электромагнитные процессы в цепи прекратятся.

Из этого следует, что общее решение однородного уравнения должно стремиться к нулю при t . Эта составляющая не зависит от внешних источников и поэтому ее часто называют свободной составляющей и обозначают как

iсв.

Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка, как известно из курса математики в случае простых корней, имеет вид

где t – время; Ak – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; – корень характеристического уравнения

Для получения характеристического уравнения (9.6) необходимо в однородном дифференциальном уравнении заменить i на 1, первую производную тока didt на , вторую производную на 2 и т. д.

Рассмотренный метод расчета переходных процессов называется классическим. Обратим внимание, что при составлении дифференциальных уравнений в качестве неизвестных необходимо принимать ток iL в индуктивности и напряжение uC на емкости. При таком выборе неизвестных достаточно легко на основании начальных условий и законов коммутации определить постоянные интегрирования.

9.3.2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии индуктивностью

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом магнитной энергии в индуктивности и ее рассеиванием в виде тепла на активных сопротивлениях. Отметим, что цепи, содержащие всего один участок с накопителем магнитной энергии (L), описываются

135

дифференциальным уравнением первого порядка, т. е. такие уравнения содержат только одну производную diL dt .

При расчете установившегося режима в случае постоянных внешних ЭДС необходимо помнить, что сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Ниже рассмотрим пример. Расчет его выполнен по алгоритму, который рекомендуется к применению для других подобных задач.

Пример 9.1. Включение последовательной цепи R, L на постоянное напряжение

Последовательная цепь R, L (рис. 9.2,а) R =100 Ом и L=2 Гн подключается к постоянному напряжению U =100 В. Требуется определить ток и напряжение на индуктивности в переходном процессе и построить графики зависимостей iL(t), u L(t).

Решение. 1. Определяем начальное условие: iL ( 0) 0, так как цепь до ком-

мутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время).

2.Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 9.2,б) и на ней указываем направления токов и напряжений

3.Для схемы (рис. 9.2,б) составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Рис. 9.2

136

Подставляя уравнения элементов L didt и Ri в уравнение (9.7) и учитывая, что для последовательной цепи i iL , получим

Уравнение (9.8) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. 4. Решение уравнения (искомый ток переходного процесса) ищем в виде

i iпр iсв.

(9.9)

5. Определяем iпр, который представляет собой установившийся постоянный ток в цепи. Находим его по закону Ома, учитывая при этом, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю:

iпр UR 100100 1 А.

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение:

Ldiсвdt Riсв 0,

решением которого будет функция iсв Ае t .

7. Составляем характеристическое уравнение для определения

L R 0,

корень, которого равен

RL 1002 50 с 1.

Величина 1 0,02 с называется постоянной времени цепи и имеет размерность времени.

i L ( 0) i L ( 0) i(0) 0.

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки в уравнение (9.10) t = 0 и, учитывая условие п. 9, получим

137

9.3.3. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии емкостью

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение uC на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т. е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Расчет выполним по тому же алгоритму, что и предыдущий пример.

Пример 9.2. Включение последовательной цепи R, C на постоянное напряжение

Цепь (рис. 9.4,а), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U=60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики uC (t), i(t).

Рис. 9.4

139

uC ( 0) uC ( 0) uC (0) 0.

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки t=0 в уравнение п.8

Графики uC (t) и i(t) представлены на рис. 9.4, в.

Вопросы для самопроверки

1.В каких цепях возможны переходные процессы?

2.Сформулируйте первый и второй законы коммутации.

3.Почему ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно?

4.Почему уравнения, отражающие переходные процессы в цепи, получаются дифференциальными?

5.Какие особенности имеет классический метод расчета переходных процессов?

6.Что влияет на частное решение (принужденную составляющую) дифференциального уравнения?

7.Почему свободная составляющая при t стремится к нулю?

8.Как составить характеристическое уравнение?

9.Что необходимо выбирать в качестве неизвестных дифференциального уравнения?

10.Зачем необходимо определять начальные условия?

141