36

Нетрудно убедиться, что A2-3=-A4-1 и работа газа на двух адиабатических участках компенсирует друг друга, так же как и изменение внутренней энергии (теплопередача на этих участках отсутствует). Поэтому основу цикла составляют два изотермических процесса, при первом из которых полученная теплота полностью превращается в работу, а второй происходит при наименьшей возможной температуре и давлении и соответствует наименьшей отрицательной работе газа и наименьшей теплоотдаче холодильнику. Эти доводы еще раз подчеркивают оптимальность цикла Карно.

Подставив величины Q1 и Q2 в общую формулу (2.26), вычислим КПД идеальной тепловой машины Карно:

η = T1 ln(V2 /V1 ) −T2 ln(V3 /V4 ) . T1 ln(V2 /V1 )

Найдем соотношения между объемами V1, V2, V3, V4. Напишем соотношение для адиабатного расширения газа от объема V2 до V3 и для адиабатического сжатия от объема V4 до V1 (см. формулу 2.21):

T1V2γ-1=T2V3γ-1,

T1V2γ-1=T2V4γ-1,

Поделим левую часть первого равенства на левую часть второго, а правую часть первого на правую часть второго (если делить два равных числа на равные числа, равенство сохранится):

Это равенство можно упростить:

V2 = V3

V1 V4

и с его помощью исключить V2/V1 в выражении дляη. Это приведет к сокращению одинаковых логарифмических множителей. Окончательно получим:

Этот вывод можно сформулировать так: термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и является только функцией температур нагревателя и холодильника. Это заключение получило название теоремы Карно.

Цикл Карно сыграл большую роль в развитии тепловых двигателей.

Т2 тот цикл будет иметь больший КПД, который ближе к циклу Карно.

2.3.2. Понятие об энтропии

Помимо внутренней энергии в термодинамике большую роль играет еще одна функция состояния, которая получила название энтропия.

теплота, полученная телом, равна количеству полученной теплоты, деленной на температуру тела. Уже говорилось, что подведенная к системе теплота при переходе от одного состояния в другое зависит от пути процесса, а при совершении цикла не равна нулю. С точки зрения математики это означает, что теплота не является полным дифференциалом.

что означает также независимость приведенного количества теплоты от пути процесса, а только от начального и конечного состояний, т.е. является функцией состояния. Математическим языком о том же самом можно сказать, что приведенное количество теплоты является полным дифференциалом

некоторой функции состояния S. Функция состояния S называется энтропией. Из определения (2.30) следует, что если у системы в начальном состоянии

{р1,V1,Т1} была энтропия S 1, то при переходе в другое состояние при равновесном процессе ее энтропия будет равна:

Пример

Определить изменение энтропии 200г воды, охлаждаемой от t1=18˚C до t2=0˚C.

• Энтропия нескольких тел равна сумме энтропий этих тел:

S= ∑iN=1 Si .

•При равновесных процессах без передачи тепла (адиабатических процессах) энтропия системы не меняется.

4 Для доказательства используем общее выражение для КПД тепловой машины, приравняв, его КПД цикла Карно:

1− Q2 =1− T2

Q1 T1

что означает

38

S=const, если Q=0.

•Энтропия, как и все функции состояния, определяется с точностью до константы, поэтому измеримой величиной является только разность энтропий в начальном и конечном состояниях.

•При постоянном объеме энтропия является фун кцией внутренней

dS = dUT .

Выразим значения энтропии идеального газа через термодинамические параметры, воспользовавшись уравнениями состояния, выражением для внутренней энергии и первым началом термодинамики:

процессев идеальном газе. Используя уравнение состояния идеального газа и уравнение Майера (Cр-Cυ=R), можно выразить энтропию газа через давление p, что в некоторых случаях более удобно:

S = mµ (C p lnT + R ln p)+ const .

Энтропия изолированной системы. Энтропия изолированной системы при обратимых процессах остается постоянной.

Действительно, тепловая машина с нагревателем и холодильником (в частности, машина Карно) составляет изолированную систему. Энтропия системы равна сумме энтропий нагревателя Sн, газа Sг и холодильника Sx. Если передача тепла от нагревателя газу происходит при одинаковой температуре газа и нагревателя T1, то процесс теплопередачи является обратимым. То же самое справедливо для передачи тепла от газа холодильнику, имеющему температуру T2. В процессе передачи тепла Q1 газу имеем:

∆Sн = −Q1 , ∆Sг = Q1 , ∆S∑ = ∆Sh + ∆Sг = 0 ,

T1 T1

и температура системы не меняется. Аналогичные рассуждения приводят к выводу об отсутствии изменения энтропии системы при передаче теплоты Q2 от газа холодильнику при температуре T2.

Рассмотрим теперь необратимый процесс теплопередачи в изолированной системе. Пусть два равных количества идеального газа с температурами T1 и T2 (T1<T2), содержатся в изолированных одинаковых сосудах с жесткими стенками. Если создать тепловой контакт между этими сосудами, то через некоторое время газы в сосудах придут в термодинамическое равновесие, их температуры сравняются и будут равны T=(T1+T2)/2 (из равенства количества

39

теплоты, получаемого первым газом и отдаваемого вторым газом: Cгаза (T-

T1)=Cгаза(T2-T)). Согласно (2.32), энтропия первого газа (объем газа не меняется) возрастет на:

а второго газа изменится на:

Изменение энтропии этой изолированной системы двух газов при таком процессе равно:

а, поскольку (Т1+Т2)>4T1T2, логарифм имеет положительное значение, следовательно, SΣ>0.

Таким образом, энтропия любой изолированной системы не может убывать; она либо возрастает, либо остается постоянной.

Это утверждение является еще одной формулировкой второго начала

определить возможность или невозможность самопроизвольного протекания процессов. Процессы, приводящие к убыванию, энтропии сами по себе (в изолированной системе) протекать не могут. Например, невозможен процесс, обратный только что рассмотренному процессу выравнивания температуры в двух объемах газа. При обратном процессе будем иметь: ΔSΣ<0.

Понятие энтропии тесно связано с понятием количества информации или степенью упорядоченности системы. А именно - чем больше энтропия системы, тем менее она упорядочена. Если газ, помещенный в сосуд, занимает только половину предоставленного объема, такое состояние более упорядоченно, чем состояние с равномерным распределением молекул по всему объему. Из повседневной практики ясно, что сам по себе газ не может собраться в половинке сосуда. Следовательно, закон возрастания энтропии эквивалентен утверждению, что всякая система стремится к состоянию наибольшего хаоса. Обратные процессы от хаоса к упорядоченности в изолированных системах протекать не могут.

3. Реальные газы. Фазовый переход жидкость - газ

Цель данного раздела

Врезультате изучения свойств газов при больших давлениях ознакомиться

сявлением конденсации, параметрами газов, при которых такие явления возможны, а также приближенным уравнением состояния, описывающим такие процессы. Усвоив этот материал, вы должны научиться определять, возможно ли выпадение тумана (или росы) в определенных условиях, а также пересчитывать различные данные, которыми принято описывать влажность воздуха.