2.7. Передаточная функция
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования
,
что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику - передаточную функцию.
Рассмотрим этот переход для многоканальных систем типа (2.6)
Запишем уравнение состояния в символической форме:
px = Ax + Bu ,
что позволяет определить вектор состояния
(2.24)
и выходные переменные системы
.
(2.25)
Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.25) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается
. (2.26)
Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:
(2.27)
где
-скалярные
передаточные функции,
которые представляют собой отношение
выходной величины к входной в символической
форме при нулевых начальных условиях
.
Собственными
передаточными функциями
i-го
канала называются компоненты передаточной
матрицы
,
которые находятся на главной диагонали.
Составляющие, расположенные выше или
ниже главной диагонали, называютсяпередаточными
функциями перекрестных связей
между каналами.
Обратная матрица
находится по выражению
(2.28)
где
- присоединенная матрица. Как следует
из (2.28), все скалярные передаточные
функции, которые являются элементами
передаточной матрицы (2.27), содержат
одинаковый знаменатель -det(pI-A).
Он называется характеристическим
полиномом
и имеет n
-ый порядок.
Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,
A(p)=det(pI-A)=0. (2.29)
Пример 2.4
Определить передаточную матрицу для объекта
где
Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь
Присоединенная матрица имеет вид
а
det(pI-A) = p -2p+1 .
В результате получим следующую обратную матрицу
и передаточную матрицу объекта
Очевидно, что любая передаточная функция системы содержит в качестве знаменателя характеристический полином.
Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем типа (2.5)
(2.30)
Используя оператор дифференцирования, запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:
,
(2.31)
где
- характеристический полином.
Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:
,
(2.32)
где
-
коэффициент усиления;
.
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).
Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:
- оператор
дифференцирования;
- оператор
преобразования Лапласа.
Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.
Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную переходную функцию в соответствии с выражением (2.10),
.
Подвергнем его преобразованию Лапласа,
,
и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную переходную функцию:
(2.33)
Таким образом, передаточная функция - есть преобразование по Лапласу от импульсной переходной функции.