Пример 2.5

Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме

или

на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта

2.8. Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

(2.34)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

(2.35)

где - скалярная экспонента,- вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим

. (2.36)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если

. (2.37)

Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n-корней , которые называютсясобственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим

.

где - собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.38)

которые называют модами. Полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:

. (2.39)

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).

2.9. Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n > m. (2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменойp на ,

(2.41)

и представлена в виде

. (2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

• - вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

• - мнимая частотная характеристика (МЧХ),

• - амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

• - фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу, при измененииот 0 допрочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называетсяамплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис. 2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

, (2.43)

Эта величина выражается в децибеллах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис. 2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис. 2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики