Точки разрыва и их классификация.

Пусть функция – имеет предел в точке слева (справа). Если:

а сама функция в точке не определена, то эта точка называетсяустранимой точкой разрыва.

Если функция такова, что существуют пределы в точке, но верхнее равенство не выполняется, то функцияв точкеимеетразрыв первого рода.

Если у функции не существует правого предела или левого предела в точке, или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то функцияв этой точке имеетразрыв второго рода.

Например, функция . Точка- точка разрыва первого рода,.

Теоремы о непрерывных функциях

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех точках интервала, непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке.

Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем, т.е. существует константатакая, что выполняется неравенство

На рисунке изображен график непрерывной функции на отрезке. Очевидно, что существует такое число, что график находится ниже прямой, но выше прямой.

Теорема 6 (Вейерштрассе). Если функция непрерывна на, то существует ее минимум и максимум на, т.е. существуют точкитакие, чтодля всех. См. рис.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезкеи числаине равны нулю и имеют разные знаки, то на интервалеимеется по крайней мере одна точкатакая, что.

Следствие 1. Если функция непрерывна на,,,ипроизвольное число, находящееся между числамии, то на интерваленайдется по крайней мере одна точкатакая, что.

Следствие 2. Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями.

9. Производная функции.

Пусть функция определена в окрестности. Тогда производной от функциив точкеназывается предел

где .Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).

Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть существует производная . Тогда

,

причем . Отсюда

Отсюда следует, что значение непрерывно.

10. Основные правила дифференцирования.

1.

Доказательство:

2. (производная от суммы равна сумме производных).

Доказательство:

3. константу можно выносить за знак производной.

Доказательство:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Доказательство:

6. Производная сложной функции:

Доказательство:

Пример.

7. Производная обратной функции

8. Производная функции, заданной параметрически:

Доказательство:

9. Производная функции .

Пример.

.

10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением , то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, гдерассматривается как сложная функция переменной.

Пример. Найти производную неявной функции .

Это уравнение определяет - функцию от. Подставляя функциюв данное уравнение, получаем тождество. Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим.

.