11. Производные элементарных функций

1. ,

2.

3.

4. ,,

5.

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. ,

14. , ?

15. ,

16. ,

12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.

Пусть- фиксированная точка,- текущая,- секущая. Присекущая переходит в касательную в точке(предельное положение секущей).

если то

.

Далее, нам известно уравнение прямой линии

Здесь . Отсюда

- уравнение касательной

- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

- нормали.

Производные высших порядков явно заданных функций

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной.

Обозначение второй производной

Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков

Производные порядка обозначаются и так

Если функция задана параметрически: ,, то ее вторая производная определяется формулой

13. Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестностии имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малыхможно записать

Причем при. В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращениеможно представить в виде

где не зависит от, но вообще зависит от.

Теорема 9. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точкеили чтодифференцируема в точке- это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представленияв виде, где можно положить.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда, если, можно записать

Предел левой части при существует и равен:

Это означает, что существует производная .

Геометрический смысл дифференциала.

Итак, приращение функции можно представить в виде

Первое слагаемоепропорционально, т.е. оно - линейная однородная функция от. Второе,является бесконечно малой высшего порядка малости, т.е. оно стремится к нулю быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемоеназывается главным членом приращения(при). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом. Итак, по определению

На рисунке - касательная к кривой в точке,, приращение функциисоответствует приращению аргумента. При этом

Вообще говоря . Равенство выполняется только для линейной функции. В этом случае дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал произвольной функции записывают обычно так

Основные теоремы о дифференциалах, дифференциал

сложной функции

1)

2)

3)

4)

5)

6) Форма дифференциала инвариантна (неизменна).

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Например, дифференциал сложной функции.

Применение дифференциалов к приближенным

вычислениям

Итак

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малом может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

где .

Например, вычислить значение . Имеем,,.

Далее . Или. Окончательно

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема ( Ферма).

Если функция имеет производную в точкеи достигает в этой точке локального экстремума, то .

Доказательство.

По определению производной имеем

Так как у нас (мы считаем, для определенности, что имеет место локальный максимум) , то для достаточно малых

Откуда в пределе, при , получим, что.

Если же , то

Поэтому, переходя к пределу при в этом неравенстве, поучим. Отсюда и вытекает.

Теорема (Ролля).

Если функция непрерывна на, дифференцируема наи, то существует точка, такая, что.

Доказательство.

Если постоянна на, то для всехпроизводная.

Будем считать, чтоне постоянна на. Так какнепрерывна на, то существует точка, в которойдостигает максимума на, и существует точка, в которойдостигает минимума на. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка, потому что иначе

и была бы постоянной на. Следовательно, одна из точекпринадлежит интервалу. Обозначим ее через. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того,существует, потому что по условиюсуществует для всех. Поэтому по теореме Ферма.