2.7. Задачи

1. Векторы иобразуют угол,,. Вычислить:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж).

2. Для векторов иизвестно, что,. Определить, при каком значениивекторыибудут перпендикулярны.

3. Найти угол, образованный единичными векторами и, если векторыиперпендикулярны.

4. Векторы ,заданы декартовыми координатами. Вычислить: а); б); в); г);

д) ; е); ж) направляющие косинусы вектора;

з) ; и).

5. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами

А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).

6. Найти вектор , удовлетворяющий условиям:

а) коллинеарен векторуи;

б) перпендикулярен,,.

Домашнее задание.

7. Векторы ивзаимно перпендикулярны, векторобразует с ними углы, равные, при этом,,. Вычислить:

а) ; б); в); г).

8. Для векторов иизвестно, что,,.

Найти .

9. Даны векторы: ,. Найти:

а) ; б); в);

г) ; д) направляющие косинусы вектора.

10. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7),

С(8;-3;-1), D(4;7;-2) – квадрат.

11. Даны две точки M(-5;7;-6) и N(7;-9;9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

12. Найти вектор , который перпендикулярен оси, при этом

, , где,.

Ответы. 1. а) -6; б) 9; в) 16; г) 13; д) -61; е) 37; ж) 73. 2. .

3. . 4. а) 22; б) 200; в) 41; г) 105; д); е); ж);

з) ; и). 5.,,,,.

6. а) (6;-4;4); б) (-8;-6;6). 7. а) 20; б) -62; в) 162; г) 373.

8. . 9. а) 55; б); в); г); д).

11. 3. 12. (1;0;1).

2.8. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор(или ), удовлетворяющий следующим трем требованиям: 1). Длина вектора равна произведению длин векторовина синус угла между ними, (угол- острый). 2). Векторортогонален к каждому из векторови. 3). Векторнаправлен так, что тройка векторовявляется правой.

Механический смысл векторного произведения: вектор есть момент силыотносительно конце-вой точки вектора. Действительно,есть длина перпендикуляра, прове-денного из концевой точки вектора, т.е. плечо силыотносительно этой точки. Геометрический смысл векторного произведения:есть площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторахикак на сторонах.

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. 1. Необходимость. Поскольку и, то, т.е. векторыиколлинеарны. 2. Достаточность. Из равенствав силу того, чтоиследует, что.

2.8.1. Свойства векторного произведения

1. ; 2.; 3.; 4.для любого вектора.

Доказательство: 1). Пусть и. Очевидно, чтои векторы параллельны, т.к. оба перпендикулярны плоскости, в которой лежат векторыи, но направлены в разные стороны, поскольку тройки векторов и должны быть правыми.

2). Пусть ,.,

. Если , тои, если же, то, однако и в этом случае, т.е.. Очевидно, чтоиколлинеарны, т.к. они оба ортогональны векторами, и одинаково направлены.