2.10.2. Свойства смешанного произведения

1. Справедливо соотношение , поэтому в тройке векторовзнак векторного произведения можно ставить между любыми двумя векторами. Поэтому обычно смешанное произведение записывают в видеили.

2. Циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняется, т.е.==.

Доказательство. 1). Смешанное произведение есть объем того же параллелепипеда , площадью основания которого является параллелограмм, построенный на векторах ис площадью , а высота - .

2). Справедливость циклической перестановки непосредственно следует из цепочки равенств .

2.11. Задачи

Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:

1. ,,.

2. ,,.

3. ,,.

4. Векторы образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны. Зная, что,,, вычислить.

5. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:

а) ,,;

б) ,,.

6. Вычислить объем тетраэдра ОАВС и длину высоты, опущенной из

вершины С, если ,,.

7. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.

Домашнее задание.

Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:

8. ,,.

9. ,,.

10. ,,.

11. Вектор перпендикулярен векторами,,,,. Вычислить.

12. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:

а) ,,;

б) ,,.

13. Доказать, что четыре точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

14. Даны вершины тетраэдра: А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7), D(-5;-4;8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

15. Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах ,,, если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.

Ответы. 1. Правая, V=1. 2. Левая, V=8. 3. Компланарны, V=0.

4. 24. 5. а) Не образуют; б) Образуют. 6. ,. 7. (0;8;0) или (0;-7;0). 8. Левая,V=1. 9. Правая, V=4. 10. Компланарны, V=0.

11. . 12. а) Образуют; б) Не образуют. 14. 11. 15..

59