3.2. Свойства кубического Сплайна

Теорема 4.5:

Среди всех функций, интерполирующих функцию f в точках х_i, где именно кубический сплайн обладает наименьшей энергией изгиба, т.е. для него достигается минимум интеграла энергии. - интеграл энергии.

Следствие 4.6

Из математического анализа известно, что радиус кривизны функции у(х): (k(x) – кривизна изгиба). Как известно из физики, энергия изгиба гибкой линейки, принявшей очертание графика функций y(x), вычисляется по формуле:

- коэффициент жесткости линейки (предположим y’ 0)

Таким образом, энергия изгиба линейки .

Как мы знаем из физики, любая физическая система, в том числе и линейка, стремится минимизировать свою энергию, следовательно, гибкая линейка, пропущенная через точки (х_i, у_i) , (теорема 4.5) примет очертание кубического сплайна. Отсюда и происходит само слово сплайн (spline – рейка, которую используют чертежники).

Очевидно, что кривизна линейки есть функция непрерывная, следовательно, S, S’ и S” непрерывны – это условие 2 из определения кубического сплайна. Также понятно, что на краях кривизна линейки будет нулевая – отсюда берется условие 3.

3.3. Формулы для вычисления кубического сплайна.

С одной стороны мы можем составить 4n уравнений для 4n коэффициента кубического многочлена (см. пункт 3.1).

На практике подобный подход не используется, выгоднее идти другим путём (уравнений и неизвестных будет меньше).

Другой вариант вычисления кубического сплайна.

Введём следующие моменты: S΄΄(x_i)=M_i , с помощью их и будем вычислять кубический сплайн.

из 3-го условия.

Т.к. S(х) кусочно-кубический многочлен, то S”(х) – кусочно-линейная функция, которая при этом непрерывна.

Очевидно, что на i-ом участке

(4.14)

- длина i-ого интервала.

Чтобы получить S_i(x) проинтегрируем S_i’’(x) дважды:

Осталось только подставить константы интегрирования - и . Для этого необходимо вспомнить условия интерполяции на краях участков.

Подставив эти условия в формулу для , получим 2 уравнения для констант и , решив систему, подставим в формулу и получим:

(4.15)

Теперь для расчета кубического сплайна необходимо найти неизвестные моменты M_i.

Мы уже знаем , остается найти моменты . Для этого необходимо ограничения 1,2,3, налагаемые на кубический сплайн.

Условие интерполяции использовали при нахождении констант и (оно же непрерывность S). Непрерывность S” мы тоже уже использовали, когда писали формулы для кусочно-линейной функции S”. Остается использовать условие непрерывности S’, т.е.

(4.16)

Получим (n-1) недостающее уравнение для (n-1) неизвестного (для ).

Как нетрудно убедиться, эти условия превращаются в СЛАУ (4.17) для нахождения М:

CM=d (4.17), где

- столбец неизвестных.

- квадратная трёх диагональная матрица.

Элементы матрицы С вычисляются по формуле:

(главная диагональ)

(верхняя диагональ)

(нижняя диагональ)

, ( ) - вектор правых частей.

Таким образом, для вычисления кубического сплайна необходимо:

1. Составить СЛАУ по формуле (4.17) (размером (n-1)x(n-1))

2. Решить эту СЛАУ, находя моменты , добавить к ним .

3. Найдя моменты , подставить их в формулу (4.15) для нахождения кубического сплайна (перед этим нужно найти i-номер интервала, в котором лежит точка х, т.е. ).

Замечание:

При интерполяции кубическими сплайнами сетка не обязана быть равностоящей, как требуется, например, в формуле Ньютона И.М., но весьма желательно

30